Системы Линденмайера

Лекция 33-34.

В процессах развития многих организмов, особенно растений, наблюдается регулярное повторение определенных многоклеточных структур, например, отдельные листья, являющиеся частью сложного листа на поздней стадии развития, имеют ту же структуру, что имел весь лист на ранних стадиях развития. Этот феномен самоподобия в процессе развития растений формально описывается при помощи систем Линденмайера (L-систем). Это понятие было введено Аристидом Линденмайером в 1968 году при математическом моделировании процессов развития простых многоклеточных организмов, а затем применено для изучения высших растений. Позднее, благодаря использованию компьютерной графики, стала возможной визуализация структуры растений и процессов их развития. Цель данного раздела – познакомить студентов с возможностями применения теории формальных языков к процессам клеточного роста, рассмотреть примеры растениеподобных структур, порожденных системами Линденмайера.

Краткое содержание раздела:

Системы Линденмайера. L-системы и формальные грамматики Хомского. Графическая интрепретация – черепашья графика. Примеры. Снежинка Коха.

Ветвящиеся структуры. Осевые деревья. Древесные ОL-системы. Скобочные ОL-системы. Примеры структур, порожденных ОL-системами.

Литература: [15], гл. 1 стр. 1-11, стр. 21-28.

Задания для самоконтроля.

 

Множества.

1.1. Пусть  — множество чисел, кратных 5,  — множество чисел, кратных 7, а универсальное множество — множество всех целых чисел. Найти , .

1.2. Пусть А и В – множества всех прямоугольных и равносторонних треугольников на плоскости соответственно; универсальное множество – множество всех треугольников на плоскости. какие треугольники содержатся в множествах , , , , , ?

1.3. Найти множество  всех подмножеств множества .

1.4. Доказать, что .

1.5. Доказать, что если  и , то .

Бинарные отношения.

2.1. Пусть . Пусть также  () тогда и только тогда, когда . Какими свойствами обладает отношение ?

2.2. Пусть . Пусть также  () тогда и только тогда, когда  и . Доказать, что  — отношение эквивалентности и построить разбиение  на классы эквивалентности.

2.3. Для разбиения  множества  построить эквивалентность .

2.4. Пусть . Рассмотрим на множестве всех подмножеств множества  отношение  быть подмножеством. Доказать, что это отношение частичного порядка. Построить диаграмму этого отношения.

2.5. Пусть . Рассмотрим на этом множестве отношение  делить нацело. Доказать, что это отношение частичного порядка. Построить диаграмму этого отношения.

Логика высказываний.

3.1. Является ли высказыванием предложение «треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны»?

3.2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний и укажите значения истинности высказываний и их отрицаний: «Картофель относится к семейству розоцветных»; «картофель не относится к семейству пасленовых».

3.3. Являются ли следующие высказывания отрицаниями друг друга (объяснить почему): «человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «на Земле существует вид животных, не известный человеку».

3.4. Следующее сложное предложение требуется расчленить на простые и записать с использованием логических связок: «Обидно, если в пору цветения садов не сочиняют стихи и не наполняют чарки вином» (Цзацзауань. Ли Шан-Инь).

3.5. Записать таблицу истинности для формулы: .

Теория графов.

4.1. В шахматном турнире по круговой системе участвуют семь студентов. Известно, что Ваня сыграл шесть партий, Толя – пять, Леша и Дима – по три, Семен и Илья – по две, Женя – одну. С кем сыграл Леша?

4.2. Насыщенным углеводородом называется соединение углерода C, имеющего валентность 4 и водорода H, имеющего валентность 1, в котором при заданном числе атомов углерода содержится наибольшее число атомов водорода. Найдите формулу насыщенного углеводорода, содержащего n атомов углерода.

4.3. Мэрия решила построить торговый центр в каждом квартале города, имеющего 155 перекрестков и 260 отрезков улиц между перекрестками. Сколько будет построено торговых центров?

4.4. На пир при дворе короля Артура собралось четное число рыцарей, которые либо дружат, либо враждуют. Оказалось, что у каждого из рыцарей друзей больше, чем врагов. Доказать, что волшебник Мерлин может так рассадить рыцарей за круглым столом, что справа и слева от каждого из них будет сидеть друг.

4.5. Образовавшийся коммерческий университет арендует здание для проведения занятий. В четверг проводится 7 лекций: право, английский язык, французский язык, экономика, менеджмент, маркетинг, этикет. Чтение каждой лекции в отдельности занимает один час, но некоторые лекции не могут читаться одновременно, например, их читает один и тот же лектор, или есть студенты, которые должны посещать разные лекции, или для их проведения нужна одна и та же аудитория и т.д. (В таблице крестиком отмечены лекции, которые не могут читаться одновременно). Определите минимальное время, за которое могут быть прочитаны лекции в четверг.

 

 

	право	англ.яз.	фран.яз.	экономика	Менеджмент	маркетинг	Этикет
Право
Англ. яз.
Фран. яз.
Экономика
Менеджмент
Маркетинг
Этикет