Основные алгебраические структуры

Лекции 18-20.

Алгебраические методы описания моделей находят самое широкое применение при формализации различных предметных областей. Можно сказать, что при построении модели предметной области, все начинается с введения подходящих множеств, операций и отношений над их элементами с последующим исследованием их свойств. Таким образом, владение алгебраической терминологией входит в арсенал средств, необходимых для абстрактного моделирования. Приведем пример применения полугрупп в биологии для описания некоторых аспектов скрещивания организмов. При выведении породы крупного рогатого скота рассматривают цвет, черный или бурый, и признаки одноцветности или пятнистости. Известно, что черный цвет доминантен, а бурый рецессивен и что одноцветность доминирует над пятнистостью. Таким образом, в данном стаде различают четыре типа скота:

a – «черный одноцветный»,      b – «черный пятнистый»,

c – «бурый одноцветный»,        d – «бурый пятнистый».

Учитывая отношения доминирования, при скрещивании черной пятнистой особи с бурой одноцветной особью следует ожидать черное одноцветное потомство. Это можно записать в виде . «Операция скрещивания» , рассмотренная для всех всевозможных пар, описывается следующей таблицей:

	a b c d
a b c d	a a a a a b a b a a c c a b c d

Это – таблица Кэли для группоида . По данной таблице можно проверить, что операция  является ассоциативной, т.е. S является полугруппой. Кроме того, таблица является симметричной относительно главной диагонали, следовательно, операция  коммутативна, элемент d является нейтральным элементом полугруппы, а – нулем.

В процессе изучения данного раздела студенты должны составить представление о классических алгебраических структурах: полугруппах, группах, кольцах, полях и их основных свойствах. Особое внимание при изучении данного раздела уделяется свободным полугруппам, поскольку они играют важную роль, как в общей теории полугрупп, так и в приложениях. Их прикладная роль объясняется, в частности, тем, что во многих процессах передачи информации, передаваемые сообщения представляют собой цепочки символов ("реальных" букв или слов, других кодовых знаков, электрических сигналов, последовательностей нуклеотидов в цепочке ДНК и т.д.), и соединение двух таких цепочек есть не что иное, как конкатенация слов в подходящей свободной полугруппе. Свободные полугруппы (главным образом над конечными алфавитами) являются исходным объектом в теории формальных языков и теории кодов, существенна их роль в теории автоматов.

Краткое содержание раздела:

Операции на множествах. Свойства операций: ассоциативность, коммутативность. Понятие полугруппы. Примеры. Полугруппы в биологии. Нейтральный элемент и его свойства. Обратный элемент и его единственность в полугруппе. Понятие группы. Примеры. Абелевы группы. Подполугруппы, подгруппы. Порождающие множества. Циклические полугруппы и группы, их свойства. Гомоморфизмы и изоморфизмы полугрупп и групп. Свободные полугруппы и группы, их свойства. Свободные полугруппы и цепочки ДНК.

Кольца. Поля. Основные свойства, примеры. Область целостности, тело. Примеры. Кольцо многочленов.

Литература: [2], [10], [11].

Задачи: [3] №№ 1.1.1 (а, в, д, ж, и), 1.1.3 (а), 1.1.9, 1.2.10 (а), 1.2.12 (б), 2.2.33 (б), 2.3.6 (а, в), 3.1.1 (а, б, в), 4.1.15 (а), 4.2.4.