Метод скользящих средних

В техническом анализе, применяемом трейдерами на форексе, существует достаточно много методов прогнозирования и выявления тренда. Одним из них является метод скользящей средней.

Данный метод основан на том факте, что для расчета самой скользящей средней в течение расчетного периода, берутся средние цены закрытия.

Термин «скользящее» взят потому, что по мере добавления к среднему значению новых данных старые опускаются. В результате такого обновления среднего значения оно постоянно «скользит».

Математическая статистика– это наука о способах измерения, обработки и анализа результатов исследования массовых случайных явлений.

Исходными понятиями математической статистики являются понятия генеральной совокупности и выборочной совокупности (выборки), теоретических и выборочных характеристик распределения.

В результате эксперимента реализовались n значений измеряемой величины, которые получены случайным выбором из генеральной совокупности. Этот набор из n чисел называется простой статистической совокупностью, или выборкой. Выбираем из этой совокупности Х_наим и Х_наибол. Эти граничные значения удобно округлить и рассматривать интервал. Разобьем этот интервал на частичные интервалы (разряды) и подсчитаем количество наблюдений m_i, приходящийся на каждый разряд[4].

Примем, что частичные разряды имеют одинаковые длины h.

 

 (3.1)

 

где k– число разрядов.

Обычно число разрядов выбирают в промежутке 7–15. Наряду с количеством наблюдений m_i рассчитываем также их частоты

 

 (3.2)

 

По этим данным составляем интервальный статистический ряд.

Анализ статистических данных можно проводить с помощью временных рядов, т.е. в виде последовательностей измерений, упорядоченных в неслучайные моменты времени. В отличие от анализа случайных выборок, анализ временных рядов основывается на предположении о том, что последовательные значения данных наблюдаются через равные промежутки времени (тогда как в других методах нам не важна привязка наблюдений ко времени). Подробное обсуждение этих методов можно найти в следующих работах [4-11].

Существуют две основные цели анализа временных рядов: определение природы ряда и прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям). Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, можно с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные.

Большинство регулярных составляющих временных рядов принадлежит к двум классам: они являются либо трендом, либо сезонной составляющей. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Сезонная составляющая - это периодически повторяющаяся компонента. Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно.

Не существует «автоматического» способа обнаружения тренда во временном ряде. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание.

Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания - скользящее среднее.

Скользящие средние значения из нечетного числа эмпирических значений, например из трех, образуются так [5]:

 

,                                        (3.3)

 

где у ₁, у ₂,…, у_k - наблюдаемое значение выгрузки грузов соответственно в моменты времени t ₁, t ₂,…, t_k.

Аналогично образуются средние значения для пяти, семи и более значений.

Если необходимо образовать скользящее среднее значение из четного числа наблюдений, то для такого упорядочения отдельных средних у_i к соответствующим моментам времени t_i используются следующие выражения (для четырех значений):

 

,                     (3.4)

Средние значения для шести, восьми и большего четного числа значений определяются аналогично.

Пусть экспериментально полученные данные имеют вид эмпирического ряда

 

t	t1	t2	…	ti	…	tn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

 

Требуется подобрать формулу, описывающую приближенно функциональную зависимость у = у (t), заданную этим рядом. Таким образом, будем строить такую приближающую функцию, которая не обязательно совпадет с эмпирическим рядом в узлах, но, в некотором смысле, «не далеко отклоняется» от значений ряда. При этом ее аналитическая формула должна содержать небольшое количество параметров, а их количество не должно зависеть от количества значений эмпирического ряда.

Каждое измерение в эксперименте производится с некоторой погрешностью, и табличные значения функции у = у (t) отличаются от истинных. Одна из целей построения эмпирической формулы является сглаживание случайных погрешностей.

После составления эмпирического ряда необходимо найти параметры эмпирической формулы, описывающие характер зависимости наблюдений от нее.

Один из самых распространенных методов выбора параметров – метод наименьших квадратов [22]. Он заключается в таком выборе коэффициентов эмпирической функции, при котором сумма квадратов всех уклонений значений функции от опытных данных минимальна.

Пусть эмпирическая формула имеет вид [5]:

 

,   m < n,                         (3.5)

где m - количество параметров эмпирической формулы;

n - количество экспериментальных точек.

Величина

 

.                                (3.6)

 

задает уклонения при всевозможных значениях t_i. Наилучшими параметрами а_i считаются те, для которых сумма:

 

.        (3.7)

 

будет минимальной.

Чтобы найти требуемые коэффициенты, используется необходимый признак экстремума функции нескольких переменных. Приравниваем частные производные первого порядка функции  нулю. Для определения коэффициентов получается система уравнений:

 

.           (3.8)

 

Среднеквадратичное уклонение характеризует величину отклонения опытных значений от теоретических, полученных по эмпирической формуле. Эта величина определяется выражением:

,                                     (3.9)

 

где - сумма квадратов уклонений.

Величину ε используют при этом для определения пригодности эмпирической значимости. Если ее значение примерно равно погрешности экспериментальных данных и число параметров формулы много меньше, чем точек в таблице, то формулой можно пользоваться. Если величина среднеквадратичного уклонения ε существенно превосходит погрешности исходных значений, то следует поискать другой, более подходящий, вид эмпирической формулы.

Для определения динамики работы железной дороги Св с грузами и определения ее зависимости необходимо рассчитать внутригодовое выборочное среднее для каждой станции и виду работы с ней. Для этого необходимо рассчитать коэффициент ежегодного прироста, который определяется:

 

,                                                 (3.10)

 

где Q_i     - внутригодовая погрузка (выгрузка) i - того типа контейнеров, конт.;

α - коэффициент прироста ( = α);

n - объем исследуемого ряда, (n =0, 1,…, m).

Среднегеометрический прирост временного ряда определяется:

 

.                              (3.11)

По полученным данным составляется новый временной ряд, используя метод скользящего среднего значения. Для полученного графика выбираем эмпирическую формулу, параметры которой определяем с помощью метода наименьших квадратов. Затем по (3.8) вычисляется среднеквадратичное уклонение. Ошибка расхождения эмпирического значения от наблюдаемых определена, в процентах:

 

.                                     (3.12)

 

Выгрузка угля на станции Мрефт за январь-апрель 2010 года

Таблица 3.1 – Объемы выгрузки угля за январь

Число			1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14
Выгрузка			580		496		579		457		555		636		718		393		460		785		654		524		718		665
15	16	17		18		19		20		21		22		23		24		25		26		27		28		29		30		31
528	594	395		470		583		511		529		468		518		467		590		528		458		586		461		520		607

 

Х_наим=393

Х_наибол=785

k=10

h=40

 

Таблица 3.2–Интервальный статистический ряд за январь 2010 года

Разряды		390-430	430-470		470-510		510-550		550-590
Число наблюдений		2	7		1		7		6
Частоты pi*		0,06	0,23		0,03		0,23		0,19
		0,002	0,006		0,001		0,006		0,005
590-630	630-670			670-710		710-750		750-790		сумма
2	3			0		2		1		31
0,06	0,10			0,00		0,06		0,03		1,00
0,002	0,002			0,000		0,002		0,001

 

Важными характеристиками выборки являются статистики выборочного распределения (выборочные характеристики, оценки), каждая из которых оказывается аналогом соответствующей характеристики теоретического распределения. Для вычисления статистик распределения интервальный ряд (таблица 3.2) заменим дискретным статистическим рядом, принимая в качестве «представителя» каждого разряда его середину, например, первый интервал (390-430) заменяем числом 410, сопоставляя с ним число наблюдений (2), соответствующее всему интервалу (390-430).

 

Таблица 3.3 – Средний интервальный статистический ряд

Середина инт xi		410		450	490	530	570	610	650	690
Число наблюдений mi		2		7	1	7	6	2	3	0
Частоты pi*		0,06		0,23	0,03	0,23	0,19	0,06	0,10	0,00
xi pi*		26,45		101,61	15,81	119,68	110,32	39,35	62,90	0,00
730	770		сумма
2	1		31
0,06	0,03		1,00
47,10	24,84		548,06

 

Таблица 3.4– Объемы выгрузки угля за февраль–апрель

		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14
февраль		326		723		598		653		590		610		522		523		510		470		525		524		519		531
март		527		523		467		479		581		398		460		596		396		657		459		463		652		395
апрель		326		260		649		597		533		563		595		655		461		587		590		792		525		599
15	16		17		18		19		20		21		22		23		24		25		26		27		28		29
530	530		396		594		714		398		461		465		602		399		593		533		407		517
524	528		460		329		531		454		388		462		402		401		590		456		393		588		396
589	600		785		524		524		855		537		528		530		653		420		500		599		563		792

 

Таблица 3.5 – Интервальный статистический ряд за февраль 2010 года

Разряды	325-365		365-405		405-445	445-485		485-525		525-565
Число наблюдений mi	1		3		1	3		7		3
Частоты pi*	0,04		0,11		0,04	0,11		0,25		0,11
	0,001		0,003		0,001	0,003		0,006		0,003
565-605		605-645		645-685			685-725		Сумма
6		1		1			2		28
0,21		0,04		0,04			0,07		1,00
0,005		0,001		0,001			0,002

 

Таблица 3.6 – Средний интервальный статистический ряд за февраль 2010 года

Середина инт. xi	345	385		425	465	505		545	585	625
Число наблюдений mi	1	3		1	3	7		3	6	1
Частоты pi*	0,04	0,11		0,04	0,11	0,25		0,11	0,21	0,04
xi pi*	12,32	41,25		15,18	49,82	126,25		58,39	125,36	22,32
665			705				Сумма
1			2				28
0,04			0,07				1,00
23,75			50,36				525,00

 

Таблица 3.7 – Интервальный статистический ряд за март 2010 года

Разряды		325-355		355-385		385-415		415-445		445-475		475-505
Число наблюдений mi		1		0		8		0		9		1
Частоты pi*		0,03		0,00		0,26		0,00		0,29		0,03
		0,001		0,000		0,009		0,000		0,010		0,001
505-535	535-565		565-595		595-625		625-655		655-685		Сумма
6	0		3		1		1		1		31
0,19	0,00		0,10		0,03		0,03		0,03		1,00
0,006	0,000		0,003		0,001		0,001		0,001

 

Таблица 3.8 – Средний интервальный статистический ряд за март 2010 года

Середина инт. xi		340	370		400		430	460		490		420
Число наблюдений mi		1	0		8		0	9		1		6
Частоты pi*		0,03	0,00		0,26		0,00	0,29		0,03		0,19
xi pi*		10,97	0,00		103,23		0,00	133,55		15,81		81,29
450	480			510		540			570		Сумма
0	3			1		1			1		31
0,00	0,10			0,03		0,03			0,03		1,00
0,00	46,45			16,45		17,42			18,39		443,55

 

Таблица 3.9 – Интервальный статистический ряд за апрель 2010года

Разряды		260-320	320-380		380-440		440-500	500-560		560-620
Число наблюдений mi		1	1		1		2	8		10
Частоты pi*		0,03	0,03		0,03		0,07	0,27		0,33
		0,001	0,001		0,001		0,001	0,004		0,006
620-680	680-740			740-800		800-860			сумма
3	0			3		1			30
0,10	0,00			0,10		0,03			1,00
0,002	0,000			0,002		0,001

 

Таблица 3.10 – Средний интервальный статистический ряд за апрель 2010

Середина инт.xi	290		350	410		470	530		590	650
Число наблюдений mi	1		1	1		2	8		10	3
Частоты pi*	0,03		0,03	0,03		0,07	0,27		0,33	0,10
xi pi*	9,67		11,67	13,67		31,33	141,33		196,67	65,00
710		770			830			Сумма
0		3			1			30
0,00		0,10			0,03			1,00
0,00		77,00			27,67			574,00

 

 

Рассмотрим данные роста выгрузки с учетом поправочного коэффициента (а_ср^геом).

Январь∙(1,02)

Февраль∙(1,02)²

Март∙(1,02)³

Апрель∙(1,02)⁴

 

Таблица 3.11 – Рост выгрузки с учетом поправочного коэффициента

Месяц	Число	Выгрузка		Март	60	527	559
Январь	1	580	580		61	523	555
	2	496	496		62	467	496
	3	579	579		63	479	508
	4	457	457		64	581	617
	5	555	555		65	398	422
	6	636	636		66	460	488
	7	718	718		67	596	632
	8	393	393		68	396	420
	9	460	460		69	657	697
	10	785	785		70	459	487
	11	654	654		71	463	491
	12	524	524		72	652	692
	13	718	718		73	395	419
	14	665	665		74	524	556
	15	528	528		75	528	560
	16	594	594		76	460	488
	17	395	395		77	329	349
	18	470	470		78	531	564
	19	583	583		79	452	480
	20	511	511		80	388	412
	21	529	529		81	462	490
	22	468	468		82	402	427
	23	518	518		83	401	426
	24	467	467		84	590	626
	25	590	590		85	456	484
	26	528	528		86	393	417
	27	458	458		87	588	624
	28	586	586		88	396	420
	29	461	461		89	458	486
	30	520	520		90	533	566
	31	607	607	Апрель	91	326	353
Февраль	32	326	339		92	260	281
	33	723	752		93	649	702
	34	598	622		94	597	646
	35	653	679		95	553	599
	36	590	614		96	563	609
	37	610	635		97	595	644
	38	522	543		98	655	709
	39	523	544		99	461	499
	40	510	531		100	587	635
	41	470	489		101	590	639
	42	525	546		102	792	857
	43	524	545		103	525	568
	44	519	540		104	599	648
	45	531	552		105	589	638
	46	530	551		106	600	649
	47	530	551		107	785	850
	48	396	412		108	524	567
	49	594	618		109	524	567
	50	714	743		110	855	925
	51	398	414		111	537	581
	52	461	480		112	528	572
	53	465	484		113	530	574
	54	602	626		114	653	707
	55	399	415		115	420	455
	56	593	617		116	500	541
	57	593	617		117	599	648
	58	407	423		118	563	609
	59	517	538		119	792	857
					120	524	567

 

Анализ временных рядов выгрузки угля на станции Мрефт с января по апрель 2010 года

Значениями переменной величины, или уровнями ряда Y_t, выступает выгрузка грузов; периодом, или единицей временного интервала t, – сутки; длиной ряда n – количество суток за четыре месяца Y_t =120

Предположим, что эмпирическая формула является линейной: Y_t = a ₀+ a ₁ t, тогда параметры a ₀, a ₁ определяются из системы уравнений:

 

 

Чтобы найти коэффициенты этой системы, проделаем предварительные расчеты, результаты которых сведем в следующую таблицу:

 

Таблица 3.12 –Коэффициенты линейной системы

t	R	t 2	tR	R (t)	e	e2
1	558	1	558	1019	461	212139
2	558	4	1117	1019	461	212161
3	559	9	1676	1019	461	212098
4	559	16	2234	1019	461	212119
5	559	25	2797	1020	460	212013
6	560	36	3357	1020	460	212009
7	559	49	3912	1019	461	212089
8	557	64	4460	1018	461	212259
9	559	81	5030	1019	461	212082
10	560	100	5598	1020	460	211975
11	558	121	6135	1018	461	212221
12	557	144	6683	1018	461	212327
13	557	169	7243	1018	461	212291
14	556	196	7779	1017	461	212472
15	555	225	8320	1016	461	212596
16	555	256	8878	1016	461	212565
17	555	289	9427	1016	461	212611
18	556	324	10009	1017	461	212424
19	557	361	10581	1018	461	212322
20	557	400	11133	1017	461	212354
21	557	441	11699	1018	461	212299
22	557	484	12263	1018	461	212264
23	558	529	12841	1019	461	212155
24	559	576	13409	1019	461	212105
25	560	625	13992	1020	460	211990
26	559	676	14543	1020	460	212028
27	560	729	15112	1020	460	211988
28	561	784	15702	1021	460	211856
29	561	841	16255	1021	460	211889
30	562	900	16848	1022	460	211758
31	562	961	17424	1022	460	211702
32	562	1024	17970	1022	460	211763
33	564	1089	18615	1024	460	211459
34	562	1156	19106	1022	460	211719
35	561	1225	19643	1021	460	211803
36	560	1296	20154	1020	460	211970
37	559	1369	20690	1020	460	212048
38	558	1444	21215	1019	461	212157
39	558	1521	21781	1019	461	212135
40	559	1600	22346	1019	461	212114
41	559	1681	22919	1020	461	212071
42	560	1764	23515	1020	460	211965
43	560	1849	24083	1020	460	211944
44	560	1936	24651	1021	460	211920
45	561	2025	25224	1021	460	211888
46	561	2116	25789	1021	460	211875
47	561	2209	26356 2345678  Сейчас читают про: Понятие «неблагополучная семья», ее основные характеристики. Типология неблагополучных семей Мгновенный центр скоростей (МЦС) и его определение. Определение скоростей точек тела с помощью МЦС Личностные качества волонтеров, которые определяют эффективность волонтерской работы Три этапа Великой Отечественной войны Расчет на прочность при срезе и смятии Источники международного права Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью. © Лев Толстой ==> читать все изречения... 8184 8104 Понравился сайт? Поделись им с друзьями: