2020-01-15
145
Решение задач с помощью составления уравнений
В теме «Уравнения»
Регулярное применение алгебраического метода решения текстовых задач начинается с 7 класса. К этому момента часть учащихся уже достигнет на достаточно хорошем уровне умения решать методом составления уравнения несложные текстовые задачи.
В 6 классе в связи с появлением новых видов уравнений и методов их решения текстовые задачи становятся разнообразнее как по содержанию, так и по своей информационной структуре. Эти задачи таковы, что они позволяют действительно показать преимущество алгебраического способа решения по сравнению с арифметическим. В 1 – 6 классах зачастую алгебраическим способом решались такие текстовые задачи, которые поддавались простому, иногда устному выполнению.
К началу систематического использования алгебраического способа у учащихся должны быть сформированы на хорошем уровне следующие умения:
- проводить анализ текста задачи с целью усвоения ситуации, заданной в задаче, выявление ее предметной области и связей между объектами;
|
|
|
- распознавать величины, участвующие в задаче;
- сравнивать значения – величины, входящих в задачи;
- записывать одну задачу через другую;
- выявлять равные величины (на основе этого и составляется уравнение);
- кратко записывать условие задачи.
Полезной окажется работа, в результате которой ученики проследят за тем, как перевод условия задачи с естественного (русского) языка на язык алгебры позволяет составить уравнение.
Рассмотрим следующую задачу: «Сын моложе отца в 7 раз, а через 10 лет отец станет старше сына в 3 раза. Сколько лет сыну в настоящее время?»
Оформим решение в следующем виде:
| На русском языке | На языке алгебры |
| В настоящее время возраст сына неизвестен Возраст отца в настоящее время Через 10 лет возраст сына станет равен Через 10 лет возраст отца станет равен Возраст отца станет больше возраста сына в 3 раза | х 7х х + 10 7х + 10 7х + 10 = 3 (х + 10) |
Несмотря на то, что в 5 – 6 классах уже шло формирование у учащихся умение выбирать неизвестное, следует этому вопросу уделить пристальное внимание и в 7 классе, т.к. у многих школьников это умение не сформировалось на нужном уровне. При этом акцент нужно сделать на оптимальный выбор неизвестного. Прежде, почти всегда, за неизвестное принималась одна или несколько величин. Школьникам на конкретных примерах следует показать, что в ряде случаев за неизвестное целесообразно выбирать величину, не относящуюся к искомой.
Главное внимание при обучении учащихся способу решения текстовых задач методом составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку этапности решения. Полная схема включает такие этапы:
|
|
|
1) объяснение к составлению уравнения;
2) составление уравнения;
3) решение уравнения;
4) проверка;
5) запись ответа;
6) анализ решения задачи;
На первом этапе проводится анализ задачи, выделяются объекты и процессы, подлежащие рассмотрению, выделяются величины, характеризующие эти процессы, выбирается неизвестная величина, через которую выражаются остальные.
Далее выявляются основания для составления уравнения и составляется само уравнение. Целью последнего этапа является выявление рациональных путей решения, уяснения и уточнения идеи и метода решения, уяснение общих правил для решения подобных задач.
Подготовительные упражнения
Подготовительные упражнения предназначены для подготовки учащихся к решению задач, с которыми они ранее не встречались. Важное значение для составления уравнений по условию задачи имеют навыки в записи алгебраических выражений, равенств с целью уяснения основных понятий и соотношений: равно, больше на столько-то, больше во столько-то раз, отношение и др..
Для отработки этих понятий и соотношений между ними необходимы систематические упражнения в записи алгебраических выражений.
v Большое значение имеет запись формул, выражающих функциональную зависимость между величинами. Приведем упражнения, которые целесообразно давать систематически, повторяя их время от времени.
1. Скорость движения тела V, время движения t, путь S. Запишите формулы для определения S, V, t.
2. Цена товара k, количество m, стоимость с. Запишите формулы зависимости между c, k и m.
3. Производительность – p деталей в час, время работы – t часов, объем произведенной продукции – n деталей. Запишите формулы для определения p, t, n
v Цель следующих заданий: формирование умений анализировать условие, исследовать корни, соотносить их с условием задачи.
При решении задач с помощью уравнений могут возникнуть затруднения, связанные с выделением из условия задачи величин, связанным какими-либо зависимостями.
Можно предложить учащимся следующие упражнения:
1. Прочитайте задачу и ответьте на вопросы.
Теплоход за час проходит расстояние, в 4 раза меньше, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?
Вопросы:
1) Назовите величины, связанные следующими зависимостями:
а) одна больше другой в 4 раза;
б) одна меньше другой в 4 раза;
2) Если теплоход проходит х км в час, то что могут означать следующие выражения:
4х, 4х + х?
v Цель: развитие воображения учащихся, формирование умений читать схематически записи условий.
Задание: по схематической записи составить задачу.
 |
а)
б)
| V (км/ч) | t (ч) | S (км) | |
| I | х | 7 | |
| II | х + 5 | 6 |
v Цель заданий: первичное закрепление знаний об этапах решения задач.
Решить задачу, составив уравнение. На полке стояло несколько книг. Когда с нее сняли 10 книг, то на полке стало 25 книг. Сколько книг было на полке?
I. Анализ задачи.
Переведем задачу на математический язык.
Было несколько книг х
сняли 10 книг 10
стало 25 книг 25
Т.к. неизвестно, сколько книг было на полке, то это и обозначили х.
II. Составим уравнение.
х – 10 = 25
было сняли стало
III. Решаем уравнение.
х – 10 = 25
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
х = 25 + 10
х = 35
IV. Ответ: 35 книг было на полке.
Работа с задачей.
Задача: «В двух книгах 70 страниц. В первой книге страниц в 6 раз больше, чем во второй. Сколько страниц в каждой книге?»
I. 1) О чем говорится в задаче? (о двух книгах).
2) В какой книге больше страниц? (в первой книге).
3) В какой книге меньше страниц? (во второй книге).
|
|
|
4) Что известно о количестве страниц в каждой книге? (в первой книге в 6 раз больше)
5) Наименьшее обозначим за «х». Что такое х в задаче? (х – количество страниц во второй книге).
6) Как выразить количество страниц в 1-ой книге? (6х)
7) Сколько всего страниц в двух книгах? (70 страниц).
Схематическая запись.
| количество страниц | |
| I книга | 6х |
| II книга | х |
II. Основание составления уравнения: 70 страниц.
III. Составление уравнения:
х + 6х = 70
IV. Решение уравнения:
х + 6х = 70
х (1 + 6) = 70
7х = 70
х = 70: 7
х = 10
V. 10 страниц во второй книге.
VI. В задаче спрашивалось, сколько страниц в каждой книге. Значит, надо найти, сколько страниц в первой книге.
По условию это: 6х. Найдем значение этого выражения.
10 · 6 = 60 (с).
VII. Найдены все величины. Можно записать ответ:
Ответ: 10 страниц во второй книге, 60 страниц в первой книге.
