Алгебраическое решение

Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

Ответ: .

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

[14].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

Так как , то . Раскроем внутренний модуль

Положим , тогда

Условию удовлетворяют два значения и .

Ответ: .

Алгебраическое решение

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

Пусть , тогда . Уравнение перепишется в виде

Проверкой устанавливаем, что – корень, тогда делением многочлена на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители

От переменной перейдем к переменной , получим

Условию удовлетворяют два значения

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что – корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что тоже корень.

Ответ: .

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

[31].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить Исходное уравнение перепишется в виде