Алгебраическое решение

Так как выражение от правой части равенства четное и и , выясним вопрос о наличии корней на промежутке . Проверкой устанавливаем, что – корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции и . Так как

и функция непрерывна на числовой прямой, то найдутся такие значения и , что . Поэтому на промежутке уравнение имеет три корня, а на всей числовой прямой – шесть корней.

Ответ: 6 корней.

В данном случае можно решать любым способом, но если количество корней на небольшом промежутке достаточно велико, вычисления могут оказаться громоздкими, и сам метод неэффективным. В этом случае на помощь приходит метод тригонометрической подстановки. Надо заметить, что решить вопрос о количестве корней можно с помощью производной, но в данном случае такое решение мало эффективно, так как затруднительно найти нули производной.

Пример 2. Решить уравнение

Если для выше приведенных задач не удается найти нетрадиционный путь решения, то все равно остается вероятность справиться с задачей с помощью стандартных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. Эта задача лишает такого выбора, так как ее решение другим способом не представляется возможным.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид

Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть , тогда . Получили, что при левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.

Положим . Уравнение примет вид

Условию удовлетворяют три значения

Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения.

Ответ: .
1.3 Показательные уравнения

Приведем пример задания, решить которое без введения тригонометрической подстановки не представляется возможным.

Пример 1. Решить уравнение .

Пусть , тогда уравнение перепишется в виде

Введем замену , получим

Это уравнение мы уже решали[1]. Его корни

Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только . Перейдем к переменной , а затем к переменной

Ответ: .

Решение систем

В данном параграфе предложены системы повышенной сложности, решить которые, не зная специальных методов решения, сложно.

Пример 1. Решить систему уравнений

[3].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как квадрат суммы чисел и равен единице, то каждое из этих чисел по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно положить Второе уравнение системы примет вид