2020-01-15
118
Возведем обе части уравнения в квадрат
.
Введем замену 
, тогда уравнение запишется в виде
.
Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение
.
Так как 
, то 
.
Ответ: 
.
В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда 
. Оказывается, если 
тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения 
, которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.
Пример 4. Решить уравнение
[4].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная 
может принимать любые действительные значения, положим 
. Тогда
,
,так как 
.
Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид
.
Так как 
, поделим обе части уравнения на 
, получим
.
Пусть 
, тогда 
. Уравнение примет вид
.
.
Учитывая подстановку 
, получим совокупность из двух уравнений
.
Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.
1) 
.
.
не может быть значением синуса, так как 
для любых значений аргумента.
.
Откуда
.
Так как 
и правая часть исходного уравнения положительна, то . Из чего следует, что 
.
2) 
.
.
Это уравнение корней не имеет, так как 
.
