Комплексная форма записи мощности

Допустим, что через электрическую цепь проходит гармонический ток, причем положительные направления тока и напряжения на зажимах цепи приняты совпадающими (рисунок 3.8).

Комплексные действующие значения тока и напряжения равны соответственно:

и .

а б

Рисунок 3.8 Положительные направления (a) и комплексные напряжение и ток (б)

Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз

φ = ψ₂ – ψ₁.

Умножим на комплексное действующее значение , сопряженное с .

Отсюда следует, что

.

Так как напряжение может рассматриваться как сумма активной и реактивной слагающих:

, то почленное умножение этих слагающих на дает активную и реактивную мощности

.

Аналогично мощность может быть выражена через активный и реактивный токи.

Таким образом, комплексная величина определяет действительной частью активную мощность, а мнимой частью реактивную мощность, поступающую в цепь.

Модуль S равен полной мощности. носит название мощности в комплексной форме, или комплексной мощности.

На комплексной плоскости изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат Р и Q (рисунок 3.9).

Рисунок 3.9 Треугольник мощностей на комплексной плоскости

Треугольник мощностей, изображенный на рисунке 3.9, подобен треугольнику сопротивлений

.

Если комплексно сопряженное напряжение умножить на комплексный ток , то получится

.

Поэтому мощности Р и Q на зажимах цепи могут быть записаны в следующем виде

; .

Комплексное сопротивление цепи легко вычислить, если известны комплексная мощность и действующее значение тока I,

откуда

.

Воспользовавшись выражением (2.28), получим

.

Эта формула справедлива при любой схеме соединений индуктивности, емкости и сопротивлений.

Энергетический метод определения комплексного сопротивления применим и к комплексной проводимости

,

откуда ,

где – комплексная проводимость, сопряженная с Y.

Следовательно,

.

Итак, активные сопротивление и проводимость цепи зависят от поглощаемой цепью активной мощности, а реактивные сопротивление и проводимость – от разности максимальных значений энергии, запасаемых в магнитном и электрическом полях.