Представлення системи нормальних рівнянь

 

В результаті проведеного експерименту ми маємо ряд результатів Х_і, У_і, функціональну залежність між якими будемо шукати за допомогою поліному степені К, де коефіцієнти а_і являються невідомими.

Тоді, система нормальних рівнянь буде

па₀ + а₁ [ х ]+ а₂ [ х² ]+...+ а_т [ х^т ]- [ у ] = 0,

а₀ [ х ]+ а₁ [ х² ]+ а₂ [ х³ ]+...+ а_т [ х^т+1 ]- [ ху ] = 0,

а₀ [ х² ]+ а₁ [ х³ ]+ а₂ [ х⁴ ]+...+ а_т [ х^т+1 ]- [ х^2у ] = 0, (3.1)

 ............................

а₀ [ х^т ]+ а₁ [ х^т+1 ]+ а₂ [ х^т+2 ]+...+ а_т [ х^2т ]- [ х^ту ] = 0,

де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.

Для поліному третього порядку виду

y = ax³ + bx² + cx + d (3.2)

 

система нормальних рівнянь буде

dn + c[x] + b[x²] + a[x³] - [y] = 0,

d[x] + c[x²] + b[x³] + a[x⁴] - [xy] = 0, (3.3)

d[x²] + c[x³] + b[x⁴] + a[x⁵] - [x²y] = 0,

d[x³] + c[x⁴] + b[x⁵] + a[x⁶] - [x³y] = 0,

або

a[x⁶] + b[x⁵] + c[x⁴] + d[x³] – [x³y]= 0,

a[x⁵] + b[x⁴] + c[x³] + d[x²] – [x²y]= 0, (3.4)

a[x⁴] + b[x³] + c[x²] + d[x] – [xy] = 0,

a[x³] + b[x²] + c[x] + dn – [y]= 0,

 

В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3) або (3.4) одним із відомих в математиці способів.

 

Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь

 

Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнти нормальних рівнянь.

 

Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь.

№ п/п	xоп	yіст	x˚	x2	x3	x6	x5	x4
1	1,393	18,021	1	1,941	2,703	7,307	5,246	3,766
2	1,969	13,864	1	3,878	7,636	58,316	29,614	15,038
3	2,060	13,167	1	4,244	8,742	76,424	37,099	18,009
4	2,449	11,986	1	5,997	14,687	215,713	88,084	35,968
5	2,506	10,898	1	6,281	15,740	247,737	98,854	39,445
6	2,700	8,949	1	7,291	19,686	387,521	143,520	53,153
7	2,901	8,101	1	8,419	24,427	596,663	205,640	70,874
8	3,071	7,108	1	9,429	28,952	838,204	272,976	88,900
9	3,120	5,939	1	9,734	30,369	922,284	295,611	94,749
10	3,431	2,965	1	11,768	40,372	1629,884	475,113	138,496
n=10	25,600	100,998	10	68,980	193,314	4980,054	1651,756	558,398

Продовження таблиці 4.

№ п/п	х3у	х2у	ху
1	48,7148	34,97037	25,10381
2	105,8723	53,76312	27,3015
3	115,107	55,87662	27,1243
4	176,0406	71,88419	29,35309
5	171,5309	68,44533	27,31149
6	176,1661	65,24388	24,16335
7	197,8805	68,19956	23,50499
8	205,7891	67,01892	21,82591
9	180,3622	57,80981	18,52923
10	119,7025	34,89342	10,17148
n=10	1497,166	578,105	234,389

 

Параметр S розраховується за формулою

S= x+x²+x³+x⁰-y (4.1)

 

Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуюча система нормальних рівнянь

10 d+25,6 c+68,980b+193,314a-101=0,

25d+68,980c+193,314b+558,398a-234,389=0,

68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a-578,105=0, (4.2)

193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a-1496,166=0,

або

4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d -1496,166=0,

1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d-578,105=0,

578,105a+100,998 b+68,980c+25,6d-234,389=0, (4.3) 193,314a+68,980b+25,6c+10d-101=0