Рішення системи лінійних рівнянь способом Крамера

 

Нехай, маємо систему лінійних рівнянь

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_mx_n=b₁,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b_2, (5.1)

………………………..

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n=b_n.

 

Для того, щоб із цієї системи визначити невідомі х_і, складемо із коефіцієнтів при невідомих визначних Δ, який називається визначником системи рівнянь (5.1)

 

Δ=

а11 а12........... а1п а21 а22........... а2п ................................................ ап1 ап2........... апп

(5.2)

 

Помножимо ліву і праву частини рівності (5.2) на х_і . В лівій частині будемо мати Δ х_і, в правій же частині введемо у всі члени і –го стовпчика визначника а_кі множник х_і

 

Δ · хі =

а11 а12... а1іхі... а1п а21 а22... а2іхі ... а2п ....................................... ап1 ап2...апіхі... апп

(5.3)

 

Після до і – го стовпчика визначника (5.3) додамо всі остальні стовпчики, помножені відповідно на х₁, х₂,..., х_п. Величина визначника від цього не зміниться. Тоді і -й стовпчик представить собою ліву частину системи рівнянь (5.1).

Замінимо його вільними членами цієї системи і позначимо через Δ _і

 

Δ · хі = Δ і =

а11 а12... b1... а1п а21 а22... b2... а2п ....................................... ап1 ап2...bn... апп

(5.4)

 

 

Звідки:

 

 (5.5)

 

Формула (5.5) дає можливість визначити кожне невідоме системи лінійних рівнянь (5.1).

Якщо вільні члени системи лінійних рівнянь рівні нулю, то вона буде системою лінійних однорідних рівнянь.

Система лінійних однорідних рівнянь може мати рішення відмінне від нульового, якщо визначник системи Δ рівний нулю.

Для системи чотирьох лінійних рівнянь

 (5.6)

 

якщо визначник системи Δ не дорівнює нулю

 

 (5.7)

 

то система визначена і по Крамеру її невідомі виражаються формулами

 

 (5.8)

 (5.9)

, (5.10)

, (5.11)

Як бачимо, що

 (5.12)

 (5.13)

 (5.14)

 (5.15)

 

Приведемо формулу знаходження визначника четвертого порядку

 

 (5.16)

 

І в нашому випадку

 

 

тоді невідомий коефіцієнт а при х³ буде

 

 

Невідомий коефіцієнт b при х² буде

 

;

 

і невідомий коефіцієнт с при х буде:

 

 

Коефіцієнт d буде

 

d = Δx₄/Δ =40,522935

Таким чином, на основі проведених досліджень, математична модель впливу ситуативної тривожності х_і на характеристики пам’яті у_і виражається формулою

 

 (5.17)

 

Контроль зрівноваження

 

Підставляючи отриманні значення коефіцієнтів а,b,c,d у формули (4.3), отримаємо слідуючі результати.

 

х3]	x2]	x]	х0]	Y	Контроль
4980,054	1651,756	558,398	193,314	1496,166	1496,166
1651,756	558,398	193,314	68,980	578,105	578,105
558,398	193,314	68,980	25,6	234,389	234,389
193,314	68,980	25,6	10	100,998	100,998
A -1,446868	B 9,543536	C -26,67376	D 40,522935