Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в , а , где --- силовская 2-подгруппа в , --- ее инвариантное дополнение в . В силу леммы (??) условие теоремы выполняется для , поэтому мы можем считать, что .
Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда неразрешима, и по лемме (??) порядок делится на . Силовская -подгруппа циклическая, поэтому --- простая группа. Теперь, если --- другая инвариантная в подгруппа, то силовская -подгруппа пересекается с не по единице. Из минимальности следует, что содержится в . Таким образом, --- единственная минимальная инвариантная в подгруппа. Так как централизатор подгруппы инвариантен в и пересекается с по единице, то и . Следовательно, изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .
Если --- собственная в подгруппа, то по индукции изоморфна . Но тогда изоморфна , противоречие.
Таким образом, --- простая группа. В силу теоремы (??) подгруппа неединична.
|
|
Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа, --- силовская подгруппа из , содержащая , . Так как инвариантна в , то .
Допустим, что . Напомним, что --- наибольшая инвариантная в группе -подгруппа. Так как и , то и . Поэтому . Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому для некоторого . Теперь . Так как инвариантна в , то . По теореме Гольдшмидта получаем, что либо абелева, либо изоморфна или . Если абелева, то группа разрешима, противоречие. Так как , то изоморфизм с группами и ) невозможен.
Таким образом, . Группа , и не содержит подгрупп, инвариантных в . По лемме 1 из [??] группа неразрешима. Значит, бипримарна, и делит порядок . По индукции изоморфна или .
Допустим, что имеет четный порядок. Подгруппа факторизуема, a инвариантна в , значит, и . Если содержит неединичную подгруппу, инвариантную в , то и содержит подгруппу, инвариантную в , противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа неединична, противоречие. Следовательно, порядок нечетен.
Теперь силовская 2-подгруппа из изоморфна силовской 2-подгруппе из группы или , т. е. --- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна или , нечетное. Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Теорема доказана.
Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа --- контрпример минимального порядка. Фактор-группа неразрешима и по теореме она изоморфна или . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, . Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.
|
|
Заключение
Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:
Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
Теорема. Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
Теорема. Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Теорема. Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
Теорема. Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) , где --- силовская 3-подгруппа;
7) , порядок равен , а .
Список литературы
[1] Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y., Springer--Verlag, 1967.
[2] Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Con. Ser. Math., № 33, (1977), 77.
[3] Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.
[4] Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп, Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и техника", 1978, 50-63
[5] Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5 (1972), 608-611.
[6] В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.
[7] В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.
[8] И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.
[9] П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.
[10] В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.
[11] С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 7, 1971.
[12] О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.
[13] L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.
[14] В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.
[15] D. Gодdsсhmidt, Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.
[16] Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.
[17] В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.
[18] Z. Jankо, J. Algebra, 3, 147. 1966.
[19] Н. Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.
[20] B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.
[21] D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.
[22] С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.
[23] С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.
[24] В. Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94, 1954.
[25] J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.
[26] N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.
[27] В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.
[28] Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.
[29] Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.
[30] Huppert В., Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.
[31] Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow -groups, J. Algebra, 29 № 2 (1974), 246-254.
[32] Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АН БССР, 13, № 2 (1969), 101-102.
[33] Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.
[34] Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АН БССР, 15, № 10 (1971), 877-880.
[35] Gоrеnstein D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.