Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ

 

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-33

Стародубова Н.С.

 

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

 

 

Гомель 2003

Содержание

 

Введение

1.Основные обозначения

2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

5. Произведение бипримарной и примарной групп

6. Доказательство теоремы (3)

Заключение

Список литературы

Введение

 

В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.

В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и -разложимы для каждого , то  разрешима.

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- -замкнуты для каждого . Если  и -разложимы и -разложимы, то  разрешима.

В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.

Теорема. Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если  и  --- конечная неразрешимая группа, то , ,  и  --- простое число  или  для некоторого простого .

Теорема. Пусть  --- группа Шмидта;  --- -разложимая группа, где . Если  и  --- простая группа, то ,  или  и  --- простое число.

В пятом пункте доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть конечная группа  является произведением своих подгрупп  и  взаимно простых порядков, и пусть  --- бипримарная группа, а  --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в  есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если  неразрешима, то  изоморфна  или .

Теорема. Пусть неразрешимая группа  является произведением бипримарной подгруппы  и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы  есть циклическая, то  изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где  --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок  равен , а .

Основные обозначения

 

	группа
	является подгруппой группы
	является нормальной подгруппой группы
	прямое произведение подгрупп  и
	подгруппа Фраттини группы
	фактор-группа группы  по
	множество всех простых делителей натурального числа
	множество всех простых делителей порядка группы
	коммутант группы
	индекс подгруппы  в группе

 

Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

 

Конечная группа называется -разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через  обозначается множество всех простых делителей порядка группы .

 

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и -разложимы для каждого , то  разрешима.

 

Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].

Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что  --- центр , а если  --- подгруппа группы , то  --- наименьшая нормальная в  подгруппа, содержащая . Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа  нормальна.

 

Лемма Пусть  и  --- подгруппы конечной группы , обладающие следующими свойствами:

1)  для всех ;

2) , где .

Тогда .

 

Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть  --- наибольшая -подгруппа, содержащая  и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что  не содержится в . Это означает, что существуют элементы  и  такие, что  не принадлежит . Поэтому  --- собственная подгруппа в  и  есть -группа. Кроме того,  перестановочна с каждой сопряженной с  подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь  для всех , что противоречит выбору .

Итак, . Значит,  и  --- нормальная в -подгруппа. Из условия 2) следует, что  и . Так как  и , то . Поэтому .

 

Лемма Пусть конечная группа  с -замкнутыми подгруппами  и . Если , то .

 

Доказательство. Так как , то  для всех , . Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .

 Секцией группы  называется фактор-группа некоторой подгруппы из . Если  не содержит секций, изоморфных симметрической группе  четырех символов, то  называется -свободной.

 

Лемма Если конечная группа  не является -свободной, то существуют -подгруппы  и  такие, что  нормальна в  и .

 

Доказательство. По условию в группе  существует секция , изоморфная . Пусть  --- нормальная в  подгруппа индекса , содержащая подгруппу  с индексом . По лемме Фраттини , где  --- силовская -подгруппа из , Так как  имеет индекс  в силовской -подгруппе из , то  разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того,  и .

 

Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима.

 

Доказательство. Достаточно показать непростоту группы  в случае, когда  делит . Предположим, что  простая и  делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп [??], отличных от -силовской. Если  не -свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.

Через  обозначим произведение всех разрешимых нормальных в  подгрупп.

 

Лемма Пусть конечная группа  и пусть  разрешима, а  взаимно прост с . Если в  существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то  разрешима.

Доказательство. Если  --- -группа, то  разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть  делит  и  --- минимальная нормальная в  подгруппа. Если , то  и  разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда  и  имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из  содержится в  и -разрешима по лемме(2). Из минимальности  следует, что  разрешима. Итак, в любом случае  содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.

Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы

 

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- -замкнуты для каждого . Если  и -разложимы и -разложимы, то  разрешима.

 

Доказательство индукцией по порядку . Пусть  --- минимальная нормальная в  подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы  и  будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции  разрешима, а  неразрешима. Поэтому  и . Следовательно, в  единственная минимальная нормальная подгруппа.

Пусть  и пусть  и  --- силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  и  р-замкнуты и , то  по лемме (??). Но  содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо  не делит , либо  не делит . Следовательно, порядки  и  взаимно просты. Но теперь  --- простая группа.

Так как группа Судзуки  нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок  делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на . Теперь в  существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа  разрешима. Теорема доказана.