Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.

Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.

Теорема Пусть конечная группа  является произведением своих подгрупп  и  взаимно простых порядков, и пусть  --- бипримарная группа, а  --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в  есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если  неразрешима, то  изоморфна  или .

 обозначает произведение всех разрешимых инвариантных в  подгрупп.

Следствие Пусть группа  обладает факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок  не равен 3 или 1, то  разрешима.

Доказательство теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа  примарная. Описанию этого случая, причем без предположения четности порядка подгруппы , посвящена

Теорема Пусть неразрешимая группа  является произведением бипримарной подгруппы  и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы  есть циклическая, то  изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где  --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок  равен , а .

Так как бипримарные группы разрешимы, то группа  из теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа. Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).

Если будут известны все простые группы порядка , где ,  и  --- различные простые числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности подгруппы .

Используются следующие обозначения:  и  --- симметрическая и знакопеременная группы степени , ,  и  --- циклическая, элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка . Полупрямое произведение групп  и  с инвариантной подгруппой  обозначается через . Примарной называется группа, порядок которой есть степень простого числа.