Многофакторные эксперименты

Эксперимент, в котором уровни данного фактора комбинируются со всеми уровнями всех других факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если число факторов велико, для исследования системы используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который позволяет уменьшить число испытаний и затраты ресурсов на проведение эксперимента.

Пример. Необходимо провести эксперимент по исследованию характеристик одноканальной СМО (системы массового обслуживания). Построить план эксперимента, описать модель планирования, оценить коэффициенты модели.

Параметры исследуемой системы:

λ = 15 с^-1 – интенсивность поступления заявок,

 = 10 с^-1 – интенсивность обслуживания,

L = 10 – емкость накопителя заявок.

В имитационном эксперименте необходимо оценить T – среднее время обслуживания заявки в системе при минимальных затратах ресурсов.

1. Выделим следующие факторы и отклик для составления плана эксперимента:

x₁= λ,

x₂ = ,

x₃ = L,

y = T.

2. Определим локальную подобласть планирования за счет выбора основного (нулевого) уровня каждого фактора x_i0, i=  и интервалов варьирования каждого фактора.

Факторы	Уровни факторов			Интервалы варьирования
	-1	0	+1
x1	10	15	20	5
x2	5	10	15	5
x3	10	10	10	0

Т.к. каждый из k факторов варьируется на двух уровнях, план эксперимента 2^k содержит N=2^k возможных испытаний: k=3, q=2, N = 2³.

Для определения зависимости  между откликом системы и уровнями факторов построим аналитическую модель в виде полинома первого порядка:

y=b₀+b₁ +b₂ +b₃ +b₁₂ + b₂₃ + b₁₃ + b₁₂₃ .

Для оценки коэффициентов данного полинома используются методы линейной регрессии. ПФЭ дает возможность определить коэффициенты регрессии, соответствующие не только линейным членам полинома, но и эффектам взаимодействия порядка выше первого.

План ПФЭ
№ опыта									Реакция y
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	y1
2	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	y3
4	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	y4
5	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	+1	y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	y6
7	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y8

Количество испытаний в ПФЭ обладает избыточностью, т.к. значительно превосходит число коэффициентов при линейных членах полинома. Чтобы перейти к ДФЭ, нужно исключить взаимодействия, которыми можно пренебречь:

· фактор  (не изменяется),

· , т.к. фактор  не изменяется,

· , т.к. фактор  не изменяется,

· .

Матрица планирования преобразуется следующим образом:

· ->

·  ->

В матрице необходимо оставить только те строки, в которых значения из столбца  совпадают со значениями из столбца , а значения из столбца  совпадают со значениями из столбца .

Матрица ДФЭ имеет следующий вид:

 

 

План ДФЭ
№ опыта	=				Реакция y	Ti
1	+1	-1	-1	+1	y1	18
2	+1	-1	+1	-1	y2	4
3	+1	+1	-1	-1	y3	17
4	+1	+1	+1	+1	y4	5

Проведение эксперимента в i -й точке факторного пространства выполняется следующим образом:

1. По нормированным значениям факторов i -й строки плана эксперимента определяем натуральные значения факторов:

X_Ni=||x_1Ni, x_2Ni,…, x_nNi||, i – номер эксперимента.

2. Устанавливаем факторы на уровни, соответствующие координатам точки факторного пространства X_Ni.

3. Проводим эксперимент, в результате которого определяем отклик системы Y_Ni (T_i – среднее время пребывания заявки с СМО с ограниченной очередью) при выбранных уровнях факторов и заносим значения в таблицу.

4. Используя метод наименьших квадратов, определим коэффициенты регрессионной модели

 

, где                             (1)

                                                                                        

  –номер фактора,

 – номер эксперимента.

Формулу (1) можно упростить, используя кодированные значения уровней факторов

 

, где                                                         (2)

                                                                                             

  –номер фактора,

 – номер эксперимента.

5. Согласно формуле (2) по нормированным значениям факторов i -й строки плана эксперимента суммируем значения реакции, полученные при выбранных уровнях факторов. Полученный результат делим на число опытов в эксперименте.

b₀ = (4+17+5+18)/4 = 11,

b₁ = (-4+17-5-18)/4 = 0,

b₂ = (4-17+5-18)/4 = -6.5,

b₃ = (-4-17+5+18)/4 = 0.5.

Подставив вычисленные коэффициенты в аппроксимирующий полином, получим модель планирования эксперимента.

y = 11 – 6.5x₂ + 0.5x₃.

Анализируя полученное выражение, можно сделать вывод, что на реакцию системы (время обслуживания заявки) в наибольшей степени влияет фактор x₂. Знак минус перед ним указывает, что при увеличении значения этого фактора реакция системы уменьшается.

 

Две составляющие части планирования эксперимента

 

Различают стратегическое и тактическое планирование.

 

Стратегическое планирование

Цель: получение необходимой информации о системе S с помощью модели М с учетом ограничений на ресурсы.

Проблемы стратегического планирования:

1. Необходимость решения на модели либо задачи анализа, либо задачи синтеза. При реализации ПФЭ различие в проведении машинного эксперимента для целей анализа и синтеза стираются, т.к. задача синтеза сводится к выбору одного из вариантов, полученного при ПФЭ. Полный факторный эксперимент эквивалентен в этом случае полному перебору вариантов, что нерационально с точки зрения затрат ресурсов. Для сокращения ПФЭ можно использовать случайные комбинации уровней факторов.

2. Наличие большого количества факторов. Количество комбинаций равно произведению количества значений всех факторов эксперимента. Если при моделировании требуется полный факторный анализ, сократить количество факторов нельзя. Неполные факторные планы, требующие меньшего количества экспериментальных точек, приводят к потере допустимого количества информации о виде функции реакции. В этом случае рациональным подходом является построение плана эксперимента исходя из самых первых экспериментов. Если дальнейшее проведение эксперимента оказывается неэкономичным, его можно закончить в любой момент.

3. Большое число переменных реакций и, следовательно, многокомпонентная функция реакции. Необходимо перейти от эксперимента по определению многих реакций к нескольким экспериментам, каждый из которых определяет одну реакцию. При этом используется интегральная оценка нескольких реакций, построенная с учетом весовых коэффициентов.

4. Проблема стохастической сходимости результатов эксперимента. В качестве оценок характеристик моделируемой системы используют выборочные средние значения, определенные с помощью многократных прогонов модели. Чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние значения приближаются к средним значениям распределений. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью. Мерой отклонения случайной величины от её истинного значения служит стандартное отклонение - . Если  – стандартное отклонения одного наблюдения, то стандартное отклонение среднего значения по N наблюдениям равно , т.е. для уменьшения ошибки сходимости в k раз требуется увеличить объем выборки в k² раз. Чтобы ускорить стохастическую сходимость, можно использовать априорную информацию о структуре системы S, о свойствах распределения входных переменных и воздействиях внешней среды.

 

Этапы стратегического планирования

1. Построение структурной модели эксперимента, которая выбирается исходя из того, что должно быть сделано.

2. Построение функциональной модели, которая строится исходя из того, что может быть сделано.

Структурная модель характеризуется числом факторов и числом уровней каждого фактора.

N_c=q₁q₂…q_k – число элементов эксперимента,

k – число факторов,

q_i – числов уровней i-го фактора, i= .

Элемент – это структурный блок эксперимента, определяемый, как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня, т.е. k=1, q=1, N_c=1.

Число уровней следует выбирать минимальным, но достаточным для достижения целей эксперимента. Минимальное число уровней фактора, не являющегося постоянным, равно двум. Анализ результатов эксперимента упрощается, если уровни равноотстоят друг от друга, т.е. являются ортогональными.

Если принять число уровней всех факторов одинаковым, получим симметричную структурную модель.

N_c=q^k, q=q_i, i= .

 

Функциональная модель определяет количество элементов структурной модели N_ф. Функциональная модель является полной, если в оценке реакции системы участвуют все элементы структурной модели N_ф = N_c, и неполной N_ф <  N_c.

Основная цель построения функциональной модели: нахождение компромисса между необходимыми действиями при проведении эксперимента, исходя из структурной модели и ограничений на ресурсы. Для упрощения построения функциональной модели используют номограммы. Это функциональные зависимости, построенные при варьировании числа факторов k, числа уровней факторов q, числа повторений эксперимента p, затрат компьютерного времени на прогон модели , стоимости компьютерного времени c.

Число прогонов при симметрично повторяемом эксперименте определяется по формуле (4).

N = pq^k                   (4)

Для анализа влияния различных ресурсов на проведение эксперимента, рассматривают попарное относительное влияние параметров k, q, p на количество прогонов модели N. Для этого дифференцируют уравнение (4).

 

,

,

.      

1) Если kp > q и k > qlnq, то доминирует, (оказывает наибольшее влияние на число экспериментов) изменение числа уровней q;

2) Если kp > q и k < qlnq, то доминирует число факторов k;

3) Если   p > q и plnq < 1, то доминирует число повторений эксперимента p.

При стратегическом планировании использование структурных и функциональных моделей плана эксперимента позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели М исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование системы S.

 

 

Планирование экспериментов GPSS