Напряженно-деформированное состояние двухслойной трубки с неидеальным тепловым контактом слоёв и учетом теплообмена

Минов А.В., к.ф.-м.н., профессор

Поволжский кооперативный институт (филиал)

Российского университета кооперации

 

Методом конечных элементов задача определения напряжений в двухслойной цилиндрической трубке сведена к системе разностных уравнений, решаемых методом факторизации. Учтены влияние на напряженно-деформированное состояние распухания кристаллической решетки одного из слоев при проникновении в него углерода, а также неидеальный тепловой контакт между слоями.

Детали в виде односвязных и многосвязных областей в форме сплошных валов, пластин и цилиндров как однородных, так и составленных из различных материалов часто встречаются на практике: в энергомашиностроении, авиационной, ракетной технике и других отраслях промышленности. Оценка надежности и работоспособности таких деталей невозможна без исследования их напряженно-деформированного состояния. К примеру, расчетное обоснование проектов рекуперативных теплообменников реакторов на быстрых нейтронах обязательно содержит анализ такого состояния парогенераторных трубок. В качестве теплоносителя в ядерных реакторах на быстрых нейтронах, а также в существующих проектах установок для переработки промышленных отходов используется жидкий натрий. Из опыта эксплуатации энергетических установок выяснилось, что при использовании жидкого натрия в качестве теплоносителя наблюдается перераспределение углерода (путем диффузии) между углеродистыми и легированными сталями, применяемыми в конструкции. Эти диффузионные процессы, протекающие при высокой температуре, меняют структуру и химический состав поверхностных слоев, изменяя их физико-механические и теплофизические характеристики неравномерно по глубине насыщения. Кроме того, проникновение углерода в кристаллическую решетку металла приводит к ее расширению (распуханию), что создает поле дополнительных (технологических) напряжений, зависящих от уровня концентрации диффундирующего вещества.

Для анализа влияния температуры на термомеханические и теплофизические характеристики стали, неоднородности и изменчивости этих свойств по глубине с течением времени в связи с диффузией веществ, релаксации напряжений, нелинейности упругих свойств, распухания кристаллической решетки, неидеальности контакта между отдельными частями соединений разработана модель на основе имеющихся экспериментальных данных и развит метод описания процессов термодиффузии и определения напряженно-деформированного состояния в двухслойной трубке теплообменника с натриевым теплоносителем.

В качестве примера здесь представлено моделирование напряженно-деформированного состояния двухслойной трубки, которая находится в полярно симметричном тепловом поле: на внутренней поверхности поддерживается постоянная температура , а на внешней задано условие теплообмена со средой. Материалы слоев – однородные и изотропные со свойствами, зависящими от температуры. Свойства внутреннего слоя зависят также от концентрации углерода. Давлением натрия, а также изменением температуры по длине пренебрегаем.

Распределение концентрации C=C(r,t) (0£ C £1, 1 мас. %) диффундирующего углерода и температуры T = T (r, t) в любой момент времени t определяется решением связанной задачи термодиффузии

 при ,  при ,   (1)

, n =1,2                                                 (2)

при следующих начальных и граничных условиях

t =0, C =0 при ,                                                    (3)

 при , C= 0 при  (t ³0),                       (4)

 при ,  при          (5)

,  при . (6)

Здесь  – коэффициент диффузии,  – энергия активации, R – газовая постоянная, Т⁽ⁿ⁾ – температуры слоев, l ⁽¹⁾= l ⁽¹⁾(С, T⁽¹⁾), l ⁽²⁾= l ⁽²⁾(T⁽²⁾) – коэффициенты теплопроводности материалов, зависящие от концентрации диффундирующего вещества и от температуры,  – коэффициент теплообмена материала внешнего слоя с омывающей средой, n – номер слоя. Источник насыщения углерода – средней мощности, поэтому концентрация углерода достигает предельного значения С =1мас%. при r =  в соответствии с законом [1] , а затем остается постоянной, т.е. обратную кинетику не учитываем. Так как скорость диффузии значительно ниже скорости распространения тепла, считаем тепловой режим стационарным. Неидеальность теплового контакта учитывается введением термосопротивления R(p_k), которое зависит от контактного давления [2].В общем случае величина контактного термического сопротивления зависит также от величины зазора d между слоями, рода газа в зазоре. Величина зазора d определяется шероховатостями реальных поверхностей контакта и перемещением внутренней поверхности наружной трубы относительно внешней поверхности внутренней трубы:

                                                   (7)

где d₀ – величина зазора, определяющаяся шероховатостями контактирующих поверхностей; D U – расчетная разность перемещений поверхностей в зоне контакта слоев D U= D U₀ + U ₂- U ₁, D U₀ – начальная технологическая разность перемещений, соответствующая посадке труб при сборке (D U₀ <0 соответствует напряженной посадке, а D U₀ ³0 – свободной посадке слоев двухстенной трубы); U ₁ – перемещение внешней поверхности внутренней трубы; U ₂ – перемещение внутренней поверхности внешней трубы. При D U >0 отсутствует механическое взаимодействие труб в радиальном направлении и контактное давление p_k =0. В случае, когда расчетное D U <0, действительное перемещение D U =0, а расчетная разность перемещений уравновешивается контактным давлением. Будем определять термическое сопротивление по эмпирическим формулам [2]

при р_k >0; при р_k =0     (8)

где коэффициенты a, b, c находим путем обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов, h_{cp 1}, h_{cp 2} – средние высоты выступов микрошероховатости у материалов контактной пары, l_с. – коэффициент теплопроводности среды, заполняющей промежутки между шероховатостями. Наличие функции R(p_k) в условиях (6) не позволяет решить связанную задачу термодиффузии без совместного решения с задачей термоупругости, т. к. контактное давление p_k зависит от поля температур в цилиндре, а в свою очередь температура зависит от концентрации углерода и через функцию R(p_k) зависит от давления.

Для решения поставленной задачи используем метод временных слоев, считая, что в пределах шага по времени поля температур и напряжений не меняются, но изменяются от шага к шагу. Заменяя краевые задачи (1)-(6) эквивалентными им вариационными, применяя метод конечных элементов и интегрируя на основе разностной схемы Кранка-Николсона [3] систему получающихся обыкновенных дифференциальных уравнений по времени на интервале , предполагая неизменность коэффициента диффузии в пределах шага по времени , получим краевые задачи для систем разностных уравнений, содержащих искомые значения узловых значений концентрации углерода C_i и температуры T_i:

 (i= 2,…, N)         (9)

 при ;

при j =0,… M,                         (10)

,                             (11)

, .                                                               (12)

где

(i =1,..., N -1, N +2,…, N + N ₁),

, , ,

, , ,

, , ,

N – число элементов разбиения внутреннего, а N ₁ – внешнего слоя сечения трубы; j =0,..., M; M – число шагов во времени; , – средние значения коэффициентов теплопроводности и диффузии в элементах с номерами i и i +1 соответственно.

Для определения напряженно-деформированного состояния двухслойной трубки используем схему последовательных приближений [4].

Пример расчета. Численные результаты (рис. 1 и 2) представлены для трубки с ; ; ; температура на внутренней поверхности , температура среды –  (рис. 1) и соответственно ,  (рис. 2). Материал внутреннего слоя – сталь 1Х18Н10Т, внешнего – дюраль Д16Т. Для стали в расчетах принимались следующие, полученные на основе [5], [1] данные: коэффициент диффузии , где k₀=11150 K, D₀=7,4443 мм²/час. Зависимость коэффициента теплопроводности l ⁽¹⁾(С,Т)×10^-3 [Дж/(мм*час*К)] от концентрации углерода (С) и температуры (Т), значения модуля Юнга Е (ГПа) и коэффициента линейного расширения a ×10⁵ (1/град), принятого гипотетически представлены в [4]. Коэффициент Пуассона m =0,3, В ₀=2340,87, k (T)=0,775 (для Т =973 К), =0,52. Параметры распухания h_i (i=1,…,5) приняты теми же, что и для стали 45Х, и имеют значения h ₁=0,0158; h ₂=-0,0855; h ₃=0,2143; h ₄=-0,2422; h ₅=0,1024. Для Д16Т: l ⁽²⁾= 586,08 [Дж/(мм*час*К)]; a= 2,1×10^-5 (1/град); m =0,33; Е =0,73×10⁵ МПа. Принимаем шероховатости поверхностей в зоне контакта (Ñ6-Ñ7) и для плоской контактной пары сталь-дюраль по данным эксперимента из [2, 6] получаем a =548,46; b =0,739; c =1435,8, что соответствует в (7) размерностям [ R (p _k)] – М² К/Вт, [p_k] – МПа. Используем указанные значения a, b, c к контактированию цилиндрических поверхностей на основании исследований [2]. Натяг DU ₀=0. Коэффициент теплообмена принят равным [7] . Число элементов разбиения как для внутреннего, так и для внешнего слоев цилиндра принималось равным N=N₁ =30. Шаг по времени составлял 500 ч. Данные параметры разбиения оказались достаточными для достижения необходимой точности.

На рис. 1. и 2 представлены графики распределения напряжений (МПа), концентрации углерода (процентное содержание) и температуры (К) по радиусу цилиндра с условиями закрепления, обеспечивающими невозможность проскальзывания слоев друг относительно друга, с зависимостью теплофизических характеристик стали от температуры: 1 – через 5000 ч., с учетом эффекта распухания, 2 – то же без учета эффекта распухания, 3 – через 10000 ч., с учетом эффекта распухания, 4 – то же без учета эффекта распухания. Отличие максимальных радиальных напряжений при учете эффекта распухания и без его учета составляет от 4 до 40%, а окружных – от 35 до 50%. С течением времени с ростом концентрации углерода в поверхностном слое это отличие возрастает.

Таким образом, проведенные исследования позволяют сделать вывод о необходимости учитывать термочувствительность материала, эффект распухания кристаллической решетки, кинетику науглероживания поверхностного слоя и неидеальность теплового контакта при определении напряженно-деформированного состояния полых многослойных цилиндров (трубок) при их поверхностном диффузионном насыщении углеродом.

Рис. 1. Графики распределения напряжений, концентрации углерода и температуры по радиусу цилиндра через 5000 ч. и 10000 ч. (, )

Рис. 2. Графики распределения напряжений, концентрации углерода и температуры по радиусу цилиндра через 5000 ч. и 10000 ч. (, )

Список использованных источников

 

1. Невзоров Б. А. Коррозия конструкционных материалов в натрии / Б. А. Невзоров, В. В. Зотов, В. А. Иванов, О. В.Старков, Н. Д. Краев, Е. В. Умняшкин, В. А. Соловьев. – М. Атомиздат, 1977. – 264 с.

2. Шлыков Ю. П. Контактный теплообмен / Ю. П. Шлыков, Е. А. Ганин. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики//М. «Наука», Главная ред. Физ.-мат. Литературы, 1989. – 608 с

4. Шляхов С.М., Минов А.В. Оценка параметров распухания цементированного слоя и расчет остаточных напряжений в стержне.//Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Межвуз. науч. сб./Саратов, 1999, с.123-127.

5. Безухов Н. И. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Н. И. Безухов, В. Л. Бажанов, И. И. Гольденблат, Н. А. Николаенко, А. М. Синюков. – Машиностроение, 1965.

6. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности / В. С. Зарубин. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 328 с., ил.

7. Каздоба Л. А. Решения нелинейных задач теплопроводности / Л. А. Каздоба. – Киев: Наукова думка, 1976. – 136 с.