На фоне случайных помех

Навоев Н.С., к. т. н., профессор

Поволжский кооперативный институт (филиал)

Российского университета кооперации

При рассмотрении задачи распознавания объектов по их сигналам на фоне случайных помех со статистической точки зрения часто возникает проблема оценки потенциальной различимости сигналов на выходе приемника [3].

Обычный подход к этой проблеме заключается в анализе оптимального устройства распознавания с целью расчета вероятностей ошибок распознавания первого рода F₁ и второго рода F₂, либо построения зависимостей F₂ = f(F₁) – рабочих характеристик различения (РХР) [1]. При этом наиболее полной характеристикой различения сигналов является рабочая характеристика различения. Однако, отыскание этой характеристики для практически важных случаев сопряжено с большими трудностями. В случае многих сигналов задача еще более усложняется: чтобы охарактеризовать их различимость, требуется вычислить набор вероятностей ошибок, который будет зависеть от принятого правила решения. В связи с этим часто используют числовые и функциональные характеристики различения, связанные с РХР. При этом особенно удобной оказывается функция различимости (логарифм производящей функции моментов). Ниже будет рассмотрена функция различимости, которая позволяет охарактеризовать различимость любой пары из множества сигналов на основании известных законов распределения параметров выходного сигнала приемника. В качестве признаков различения могут использоваться параметры сигналов. Признак х, являющийся некоторой функцией измерения, естественно рассматривать как непрерывную случайную величину. Использование большого числа признаков приводит к замене скалярной величины х случайным вектором признаков Х={х₁, x₂,..., х_n}, XЄR. Здесь n – число признаков; R – пространство признаков. Через p(X/Si) и p(X/Sj) обозначим условные плотности распределения вероятностей случайного вектора X при наличии полезного сигнала соответственно S_i и S_j. Функцию различимости двух распределений p(X/S_i) и p(X/S_j) определим как логарифм производящей функции моментов, взятый со знаком минус

у_ij( a ) =-ln , a                            (1)

Из формулы (1) видно, что функ­ция у_ij( a ) на концах интервала измене­ния параметра a  принимает значе­ния у_ij( 0 ) = у_ij( 1 ) = 0. Для случая неразли­чимости сигналов S_i и S_j, т.е. когда плот­ности p(X/S_i) и p(X/S_j) полностью тожде­ственны, функция у_ij( a )=0 для всех значений параметра a . Более деталь­ный анализ свойств функции у_ij( a ) сви­детельствует о возможности ее исполь­зования в качестве показателя потенци­альной различимости сигналов S_i и S_j. При этом в работе [2] показано взаимно однозначное соответ­ствие функции различимости рабочей характеристике различения.

Из построения семейства кривых рабочих характеристик различения и со­ответствующих им семейств кривых функций различимости для различных видов распределений следует, что сущест­вует обратное соответствие функций раз­личимости соответствующим рабочим ха­рактеристикам различения. При этом, если одна функция различимости больше другой функции различимости, то соот­ветствующая ей рабочая характеристика различения лучше рабочей характеристи­ки, соответствующей второй функции различимости. Анализ значений вероят­ностей ошибок F (для значений порогов, когда F = F₁=F₂) от значений функции у_ij( a ) при  для различных видов распределений при разных пара­метрах этих распределений показал, что общее значение вероятностей ошибок F определяется формулой

                                                            (2)

в пределах от 0,4 до 0,004. Величина а может вычислена по формуле

.

Рассмотрим построение рабочих характеристик различения по функциям различимости.

Рабочие характеристики различе­ния, как следует из полученных резуль­татов, можно построить путем обратного перехода с помощью «ближайших» се­мейств функций различимости, для кото­рых известны семейства рабочих харак­теристик различения. Для этого по за­данным семействам РХР рассчитываются семейства функций различимости. Рас­считанные пары семейств РХР и функций различимости можно назвать шаблонами (трафаретами), которые могут быть зада­ны в виде таблиц или графиков.

Способ построения РХР по функ­циям различимости (с использованием шаблонов) можно свести к следующему. Производится расчет «исходной» функ­ции различимости у_ij( a ) для независи­мых признаков различения, учитывая при этом её свойства аддитивности. «Ис­ходная» функция у_ij( a ) сравнивается с предварительно рассчитанными функ­циями различимости (шаблоном) и нахо­дится «ближайшая» у ^d _ij( a ) из всего се­мейства функций различимости. По этой «ближайшей» функции у ^d _ij( a ) из всего семейства РХР находится соответствую­щая рабочая характеристика F₂ ^d (F₁).

Таким образом, искомую рабочую харак­теристику различения можно представить в виде

F₂(F₁)= F₂ ^d (F₁) + d(F₁), F₁ Î[0,1].                                  (3)

Из выражения (3) видно, что точность такого способа построения РХР будет определяться величиной дополнительного уточнения d(F₁), «малой» функции dу_ij( a ). «Малую» функцию dу_ij( a ) можно найти как

dу_ij( a ) = у_ij( a ) – у ^d _ij( a ), aÎ [0,l].                                               (4)

Из этого следует, что для более точного построения РХР необходимо найти вели­чину d(F₁). Расчет величины d(F₁) можно свести к задаче нахождения вариации d(F₁) функции F₂(F₁) при изменении функции у_ij( a ) на «малую» функ­цию dу_ij( a ). В этом случае удобно исполь­зовать в качестве независимой перемен­ной величину D = 1- F₁. Поскольку у_ij(0) = у_ij(1) = 0, то функция dу_ij( a ) долж­на удовлетворять на концах интервала [0,1] условиям

dу_ij(0) = dу_ij(1) = 0.                                                                 (5)

В результате преобразований, проведенных в [2] относительно dу_ij( a ) получиминтеграль­ное уравнение Фредгольма первого рода

                                                               (6)

Методы решения таких интегральных уравнений известны [4]. Для заданной функции dу_ij( a ) вида

был произведен расчет функции d (D). В расчете использовалась РХР для двух экспоненциальных распределений. При этом ядро интегрального уравнения (6) описывается выражением

,

а известная функция принимает вид

Таким образом, функцию раз­личимости у_ij( a ) наряду с рабочей характеристикой различения F₂ = f(F₁) можно использовать для оценки эффективности различения сигналов. При этом, показан способ построения РХР по функциям различимости. Этот способ сводится к тому, что предвари­тельно рассчитывают по заданным раз­личным семействам РХР семейства функ­ции различимости (шаблоны), а обратный переход осуществляют с помощью «бли­жайших» семейств функции различимо­сти, для которых известны семейства РХР. При необходимости отыскания РХР аналитически с учетом дополнительного уточнения, требуется решать интеграль­ное уравнение Фредгольма первого рода. Приведена методика решения такого уравнения с использованием априорных сведений о ядре интегрального уравнения искомой функции.

 

Список использованных источников

 

1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Пер. с англ. под ред. Тихонова В.И. T.l – M.: Сов. ра­дио, 1972.

 2. Навоев Н. С. О различении сигналов, принимаемых на фоне помех. В журнале: Доклады академии военных наук. 2000. №5, с. 35-41.

3. Навоев Н. С. О синтезе алгоритмов и устройств различения сигналов на фоне помех. В журнале: Вестник развития науки и образования. 2010. № 1, С. 41-42.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979.