Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробную рациональную функцию

у которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. Пусть дробь - правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

Если:

где k₁... k_s – корни многочлена Q (x), имеющие соответственно кратности m₁... m_s, а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней Q (x) кратности m₁... m_t дроби вида

называют элементарными рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Тут A, B, C, к – действительные числа; m и м - натуральные числа, m, м>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x²+px+q имеет мнимые корни.

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

График функции

получаем из графика функции 1/x^m (m~1, 2, …) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на │k│ единиц масштаба вправо. График функции вида

легко построить, если в знаменателе выделить полный квадрат, а затем осуществить соответствующее образование графика функции 1/x². Построение графика функции

сводится к построению произведения графиков двух функций:

y=Bx+C и

Замечание. Построение графиков функции

где a d-b c¹0, ,

где n - натуральное число, можно выполнять по общей схеме исследования функции и построения графика в некоторых конкретных примерах с успехом можно построить график, выполняя соответствующие преобразования графика; наилучший способ дают методы высшей математики.

Пример 1. Построить график функции