Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дана прямоугольная матрица А размера .

Определение 1. Минором порядка k данной матрицы, где k min(m; n), называется определитель k -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов.

Пример А = , ,

.

Определение 2. Дополнительным минором M _ij к элементу a _ij квадратной матрицы  называется определитель (n -1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.

Пример. .

Найдем дополнительный минор к элементу a ₃₁. .

Определение 3. Алгебраическим дополнением A _ij к элементу a _ij квадратной матрицы  называется число A _ij = .

Пример. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a ₃₃.

.

Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

 - разложение определителя по i -й строке.

Вычисление определителей порядка n >3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.

Обратная матрица

           Определение 1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае.

Определение 2. Матрица А ^-1 называется обратной к квадратной матрице А n -го порядка, если А · А ^-1= А ^-1· А = Е.

Теорема 1. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

 Дана матрица    А = , .

Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:

1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:

А*= - матрица, присоединенная к матрице А;

2) транспонируем полученную матрицу:

(А *)^Т= ;

3) разделим все элементы на число? А?

.

Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на А ^-1. Элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце матрицы произведения, будет равен

Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е. Следовательно, А · А ^-1= Е, т.е. А ^-1 - обратная матрица к А.