Через данную точку в данном направлении

Предположим, что прямая проходит через точку M ₁ (x ₁, y ₁) и образует с осью OX

угол j. Составим уравнение этой прямой.

 

 

Y

                           y                                       M(x,y)

                           у ₁    M ₁ (x ₁, y ₁)                                  N

                                             j 

                     0               х1           х    Х

                                                                                              Будем искать уравнение прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом: y = k · x + b. Угловой коэффициент прямой можно найти, зная угол наклона k = tg j. Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Так как точки М и M ₁ лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: y = k · x + b, y ₁ = k · x ₁ + b. Вычитая эти равенства, получим:

y - y ₁ = k · (x - x ₁) - уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Даны две точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂). Составим уравнение прямой, проходящей через две эти точки,

 - угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку M ₁ и в данном направлении :

получим

 - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

 

Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности прямых

Определение 1. Углом между двумя прямыми I и II называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от прямой I к прямой II.

                                                                         II                                                                                         

                                                                         I                                                                                        

 

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k ₁ · x + b ₁,    y = k ₂ · x + b ₂.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых φ1 и φ2. Тогда

k ₁ = tg φ1,          k ₂ = tg φ2.

Проведем через точку пересечения прямую, параллельную оси OX.

 

 

- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

1. Предположим, что прямые параллельны:

a = 0? tg a = 0? 

k ₁ = k ₂ - условие параллельности прямых.

2. Предположим, что прямые перпендикулярны:

a = 90⁰? tg a не существует? ctg a = 0?

? k ₁ · k ₂ = -1 - условие перпендикулярности прямых

Вопросы для самопроверки.

1. Как выглядит общее уравнение прямой7 Опишите частные случаи этого уравнения.

2. Условие параллельности прямых.

3. Условие перпендикулярности прямых.

4. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через данные точки.

 

Резюме.

Раздел 2 включает элементы аналитической геометрии, необходимых для решения неравенств с двумя переменными.