Способы задания групп

Конкретная группа может быть определена следующими способами:

1. Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие.

2. При помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми <…> должен обладать граф группы. <…>

2. При помощи квадратной таблицы символов, которую мы назвали таблицей умножения группы <…>. Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все произведения элементов группы[6].

Хотя из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения. <…>

Поэтому, следует рассмотреть еще одно фундаментальное понятие в теории групп, которое позволяет описывать группу способом, не зависящим от ее порядка. Речь идет об образующих элементах группы[7]. Это и есть еще один способ задания группы, т.е. с помощью образующих и определяющих соотношений. С основными понятиями образующих элементов познакомимся в следующем параграфе.

Образующие элементы группы. Система образующих

Понятие образующего элемента

Пусть а и b — элементы некоторой группы. Тогда, согласно аксиоме об обратных элементах, а ^–1 и b ^–1 также являются элементами данной группы наряду с ab ^–1 a, abа ^–1 b и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей элементы а, b, а ^–1, b ^–1 в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом этой группы, согласно определению бинарной операции. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь а и b (и их обратные), то мы назовем а и b образующими (или образующими элементами) группы [8].

Определение

Элемент, из степеней которого составлена данная группа H, называется образующим элементом этой группы.

Замечание

Следует отметить, что понятию «образующий элемент» предлагают схожее по смыслу понятие «порождающий элемент» (от анг. generative — порождающий). Такое различие часто встречается в разных источниках и литературе по теории групп. И, например, вместо того, чтобы говорить: элемент а порождает группу H (a), часто говорят: элемент a есть образующий элемент группы H (a).

Примеры

1. Простейший случай — это группа с одной образующей, скажем а; все ее элементы могут быть представлены как произведения, содержащие в качестве сомножителей а и а ^–1. Мы уже сталкивались с группой, порожденной одним элементом: группа вращений треугольника в его плоскости имеет таблицу умножения, представленную на рис. 1.2.1<…>, и так как I = аа ^–1, то ясно, что каждый из трех элементов группы I, а, а²является произведением, содержащим в качестве сомножителей лишь а и а ^–1. [9]