Группа с двумя образующими

Таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника является примером группы с двумя образующими: вращением r и опрокидыванием f. Элементами этой группы <…> являются

I, r, r ²

f, fr, fr ²,

где каждый элемент первой строки получается из соседнего слева (справа) умножением справа на r (или r ^–1), а элементы второй строки получаются из элементов первой умножением слева на f. Это наводит на мысль, что для графа этой группы надо использовать два треугольника, соединенные отрезками, соответствующими образующей f (рис. 2.1.7).

Мы отличаем на графе образующую r от образующей f, используя непрерывную линию для умножения на r и пунктирную для умножения на f. Сам Кэли предлагал различные образующие выделять различными цветами и называл этот процесс графического представления методом цветных групп.

В качестве следствия того факта, что рассматриваемая группа имеет две образующие, мы получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей лишь символы из множества

r, f, r ^–1, f ^–1.

Примерами таких последовательностей являются

rfr ^–1 f ^–1 и rf ^–1 rf ^–1 r ¹,

которые мы, как и раньше, будем называть словами. Конечно, каждое слово от образующих и их обратных является элементом группы или, говоря точнее, представляет элемент группы.

Произведение любых двух элементов, определенное с помощью таблицы умножения этой группы <…>, совпадает с произведением, полученным с помощью графа, изображенного на рис. 6.7. Чтобы, например, проверить равенство rf = fr ², пройдем сначала r -отрезок, выходящий из I, а затем f -отрезок, входящий в вершину, помеченную символом fr ² (рис. 2.1.8). Путь на рис. 2.1.9 показывает, что frrf = r.