Глава 3. Применение пакета Mathematica для вычисления интегралов

Для иллюстрации возможностей рассматриваемого пакета обратимся к следующей теории и примерам:

Многие математические операции базируются на понятии комплексных чисел. Они задаются в форме: z=Re(z)+I*Im(z) или z=Re(z)+i Im(z), где знак I – мнимая единица (квадратный корень из –1), Re(z) – действительная часть комплексного числа, а Im(z) – мнимая часть комплексного числа.

Пример задания комплексного числа: 2 + I 3 или 2 + 3*I

Мнимая часть задается умножением ее значения на символ мнимой единицы I. При этом знак умножения «*» можно указывать явно или заменить его пробелом, в последнем случае комплексное число выглядит более естественным. Функции Re[z] и Im[z] выделяют соответственно действительную и мнимую части комплексного числа z.

Большинство операторов и функций системы Mathematica работают с комплексными числами. Разумеется, это расширяет сферу применения системы и позволяет решать на ней различные специальные задачи – например, относящиеся к теории функций комплексного аргумента.

Элементарные функции в системе Mathematica могут иметь аргумент в виде комплексного числа z. Аргументы указываются как параметры функций в квадратных скобках.

Прежде всего, отметим функции для работы с комплексными числами z.

Abs[z] – возвращает модуль комплексного числа.

Arg[z] – возвращает аргумент комплексного числа z.

Conjugate[z] – возвращает комплексно сопряженное с z число.

Im[z] – возвращает мнимую часть комплексного числа z.

Re[z] – возвращает вещественную часть числа z.

ArcCos[z] – возвращает арккосинус комплексного числа z.

ArcCosh[z] – возвращает значение обратного гиперболического косинуса комплексного аргумента z.

ArcCot[z] – возвращает значение арккотангенса комплексного аргумента z.

ArcCoth[z] – возвращает обратный гиперболический котангенс комплексного аргумента z.

ArcCsc[z] – возвращает арккосеканс комплексного аргумента z.

ArcCsch[z] – возвращает обратный гиперболический косеканс комплексного аргумента z.

ArcSec[z] – возвращает арксеканс комплексного аргумента z.

ArcSech[z] – возвращает обратный гиперболический секанс комплексного аргумента z.

ArcSin[z] – возвращает арксинус комплексного аргумента z.

ArcSinh[z] – возвращает обратный гиперболический синус комплексного аргумента z.

ArcTan[z] – возвращает арктангенс аргумента z.

ArcTanh[z] – возвращает обратный гиперболический тангенс комплексного аргумента z.

Ниже приведены примеры операций в непосредственном режиме с комплексными числами (см. рисунок 3.1):

Рисунок 3.1 – Пример операций с комплексными числами

Если ввести N[z1/0], то система выдаст следующее сообщение:

Итак, в этом случае система выдает сообщение об ошибке, но после него возвращает константу ComplexInfinity, означающую комплексную бесконечность.

Из последних примеров видно, что система Mathematica знает и использует основные соотношения между элементарными функциями. В двух последних примерах используются символьные преобразования с применением функции ComplexExpand (расширение выражений с комплексным аргументом).