Вычисление несобственных интегралов

Пусть R(x,y) – рациональная функция двух действительных переменных. Тогда справедливы равенства

Действительно, замена   переводит отрезок [0, 2π] в окружность .

При этом:

В результате имеем формулу, сопоставляющую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:

.

Утверждение: Пусть R(x) – рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого (т.е. (m-n) больше или равно 1). Тогда справедливы формулы:

Пример 1. Вычислить интеграл .

Положим , тогда . Вычислим , откуда , а исходный интеграл запишется в виде:

Так как при , подинтегральная функция  внутри круга  имеет один полюс первого порядка в точке z=a.

Поскольку , будем иметь .

В пакете Mathematica (см. рисунок 3.3):

Рисунок 3.3 – Пример вычисления интеграла

Пример 2. Вычислить интеграл .

Рассмотрим функцию .

Она является аналитической функцией, имеющей полюсы второго порядка в точках  и в бесконечности имеет нуль второго порядка.

Согласно формуле (1.1) имеем:

В пакете Mathematica (см. рисунок 3.4):

Рисунок 3.4 – Пример вычисления интеграла

Пример 3. Вычислить интеграл:

Функция  в точке z, равной бесконечности, имеет нуль первого порядка и на действительной оси не имеет особых точек.

Особые точки функции:

Поскольку , вычисляем вычет в точке  - просто полюсе функции :

.

Для заданного интеграла по формуле (2.1) получаем результат:

В пакете Mathematica (см. рисунок 3.5):

Рисунок 3.5 – Пример вычисления интеграла