Интеграл от комплексного переменного

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

, где - точка, произвольно выбранная на дуге разбиения кривой, - приращение аргумента функции на этом участке разбиения, - шаг разбиения, - длина хорды, соединяющей концы дуги , кривая l разбивается произвольным образом на n частей , k=1,2…n.

В случае замкнутой кривой l=C:

Интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром C.

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

Способ 1. Интеграл вычисляется сведением к криволинейному интегралу от функции действительных переменных, применяются формулы:

Пример 1. Вычислить интеграл , где:

а). l – прямая, соединяющая точки

б). l – ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).

Решение:

а). Путь интегрирования l – прямая, соединяющая точки

Применяем к вычислению интеграла формулу (1). Подинтегральное выражение имеет вид .

Поэтому: .

Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки имеет вид .

Получаем: .

б). Путь интегрирования l – ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).

Так как путь интегрирования состоит из 2 отрезков, то:

Каждый из этих двух интегралов вычисляем для ОВ (), и для ВА ().

Тогда .

В пакете Mathematica (см. рисунок 3.6):

Рисунок 3.6 – Пример вычисления интеграла

Способ 2. Интеграл вычисляется приведением к определенному интегралу (путь интегрирования f задается в параметрической форме z=z(t)) – применяется формула:

Пример 2. Вычислить интеграл , l –верхняя полуокружность , обход l против часовой стрелки. Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитическая. Применим формулу (2), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление: . Тогда .