2020-01-14
205
Задача №1. Объём бревна. Круглым деловым лесом называют брёвна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей 
диаметров толстого 
и тонкого 
концов. При определении объёмов круглого делового леса обычно применяют упрощённую формулу 
, где 
– длина бревна, 
– площадь его среднего сечения. Выясните, завершается или занижается при этом реальный объём; оцените относительную погрешность.
Решение. Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть 
– радиус большего, 
меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объём (объём усеченного конуса) можно, как известно, найти по формуле 
. Пусть 
– значение объёма, вычисленное по упрощённой формуле. Тогда 
;
, т.е. 
. Значит, упрощённая формула даёт занижение величины объёма. Положим теперь 
. Тогда 
. Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением 
. Поскольку 
при 
возрастает на промежутке [1; 2]. Поэтому 
, а значит, относительная погрешность не превосходит 3,7%. В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объёма усечённого конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учёте делового леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.
Задача №2. При определении объёмов ям, траншей вёдер и других ёмкостей, имеющих форму усечённого конуса, в с/х практике иногда пользуются упрощённой формулой 
, где 
– высота, 
– площади оснований конуса. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объём, оцените относительную погрешность при естественном для практики условии: 
(
– радиусы оснований, 
.
Решение. Обозначив через 
истинное значение объёма усечённого конуса, а через значение, вычисленное по упрощённой формуле, получим: 
, т.е. 
. Значит, упрощённая формула даёт завышение величины объёма. Повторив далее решение предыдущей задачи, найдём, что относительная погрешность будет не больше 6,7%. Вероятно, такая точность допустима при нормировании землеройных работ – ведь ямы не будут идеальными конусами, да и соответствующие параметры в реальных условиях замеряют весьма грубо.
Задача №3. В специальной литературе для определения угла β поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с 
зубьями выводится формула 
, где 
. Так как эта формула сложна, то рекомендуется отбросить её знаменатель и пользоваться упрощённой формулой 
. При каких 
( – целое число, 
) можно пользоваться этой формулой, если при определении угла 
допускается погрешность в 
?
Решение. Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду 
. Поэтому при использовании приближённой формулы допускается абсолютная погрешность 
, где 
. Исследуем функцию 
на отрезке [8; 50]. При этом 0,06, т.е. угол 
принадлежит первой четверти. Имеем: 
. Заметим, что 
на рассматриваемом промежутке, а значит, функция на этом промежутке убывает. Поскольку далее 
, то 
при всех рассматриваемых . Значит, 
. Так как 
радиан, то достаточно решить неравенство 
. Решая это неравенство подбором, находим, что 
, 
. В силу того, что функция убывает, следует, что 
.
Заключение
Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.
Литература
1. В.А. Петров «Математический анализ в производственных задачках»
2. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. «Математика»
