Двоичная система счисления

Сложение в двоичной системе счисления

Вспомним правила сложения в начальной школе по отношению к деся­тичной системе счисления:

  0   1  0  1

 + 0+0+1+1

  0   1  1 10

Сумма двух чисел находится сложением чисел в правом столбце и делается запись в младший разряд полученной суммы под столбцом, а в старший разряд, если он появляется, в следующий столбец слева и продолжаем сложение.

 

Например, надо сложить два числа в двоичной системе счисления:

 ₊00011001

00111010

Начинаем сложение 1 и 0 в правом столбце, получаем единицу, которую записываем под столбцом. Теперь мы складываем 0 и 1 в следующем столбце, получаем единицу, которую записываем под столбцом сложенных чисел. Далее складываем два нуля из следующего столбца и получаем 0. Записываем 0 под столбцом. На этом этапе процесс решения выглядит следующим образом:

 ₊00011001

   00111010   

       011

Теперь складываем две единицы в следующем столбце, получаем 10. Записываем 0 под этим столбцом, а 1 переносится влево и записывается над следующим столбцом.                           

   1

₊00011001

00111010

     0011

Следую­щие три единицы (две единицы чисел и одна единица переноса) в сумме дают 11. Записываем 1 в результат, и 1 в следующий столбец слева. Теперь решение выглядит так:

   1

₊00011001

00111010

    10011

Далее складываем 0, 1 и 1 переноса получаем 10 и записываем 0 под этим столбцом, а единица переноса записывается над следующим левым столбцом.

1

₊00011001

00111010

  010011

1

₊00011001

00111010

  010011

Сложение двух нулей и единицы переноса в результате дают 1, которую мы запише под этим левым столбцом. Далее сложение двух нулей в результате дают 0.

Окончательное решение выглядит так:

1

₊00011001

  00111010

  1010011

₊00011001

  00111010

01010011

Дроби в двоичной системе счисления

При представлении дробей чтобы отделить целую часть от дробной части используется точка. В курсе математики в школе в качестве разделителя дробной и целой частей используется запятая. В вычислительной технике используют точку, чтобы избежать неоднозначности пони­мания.

Цифры слева от точки являются целой частью числа и записыва­ются в двоичном представлении по принципу, изложенному выше. Цифры спра­ва от точки являются дробной частью числа и записываются так же, как целые, с той лишь разницей, что каждой позиции в записи числа соответствует разряд, вес которого является дробным числом. То есть вес разряда, соответствующего первой позиции после точки, равен ¹/₂

(2^-1), второй позиции — ¹/₄ (2^-2), следующей — ¹/₈ (2^-3) и т. д.

Как видно из сказанного, эта закономерность представляет собой продолжение правила, сформулированного выше: при движении по записи числа влево вес разряда увеличивается в два раза.

Для того чтобы получить десятичное представление дробного числа из его двоичной записи, нужно выполнить те же действия, что и в случае с целым числом: надо умножать значение каждой цифры на вес соответствующего разряда.

Как перевести двоичное число 111.011 в десятич­ную дробь 7³/₈, показано на рис. 1.8.

                        Двоичная запись

1	1	1.	0	1	1
					1	х Одна восьмая = 1/8
				0		х Одна четвертая = 1/4
			1			х Одна вторая = 0
		1				х Один              = 1
	0					х Два                 = 2
1						х Четыре          = 4

                                    Значение Вес           Сумма 7³/₈

                                    бита разряда

Рис. 1.8. Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

При сложении двух чисел поступают также как и при сложении целых чисел.

Чтобы получить сумму двух дробных чисел, записываем числа одно под другим так, чтобы точки находились в одном столбце, и выполня­ем те же действия, как с целыми числами. Например, числа 10.011 и 100.11 в сум­ме дают 111.001:

₊01.101

  11.010

 100.111

Хранение целых чисел