Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Необходимость перевода чисел из одной системы счисления в другую объясняется тем, что компьютер работает в двоичной системе, а вводим мы данные и получаем их на экран и принтер в десятичной системе счисления. Поэтому необходимо преобразовывать вводимые данные из десятичной системы счисления в двоичную, а выводимые данные – из двоичной в десятичную. В некоторых случаях возникает необходимость преобразовывать десятичные числа в шестнадцатеричные и шестнадцатеричные в десятичные. Преобразование чисел выполняется автоматически по приведенным ниже правилам.

1. Преобразование из десятичной системы счисления в двоичную (преобразование из 10 в 2).

Число последовательно делится на основание новой системы 2 до тех пор, пока делитель не станет меньше делимого, после чего полученные нули и единицы (т.е. все остатки) выписываются в обратном порядке. Напомним, что при переводе чисел из десятичной системы в двоичную систему остатками могут быть только нули и единицы.

Пример перевода десятичного числа 12 в двоичную систему счисления приведен на рис.1.15.

 

 

Рис.1.15. Преобразование числа 12 из десятичной системы счисления в двоичную

Дробная часть десятичного числа преобразуется по другому правилу: дробную часть необходимо последовательно умножать на число 2, записывая получаемые в результате умножения целые части, после чего выписать целые части в прямом порядке. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю либо пока не будет достигнута заданная точность.

Пример перевода десятичного числа 0,25 в двоичную систему счисления приведен на рис.1.16.

В результате получаем двоичное число 01, т.е. 0,25₁₀ = 0.01₂.

2. Преобразование двоичных чисел в десятичные.

25    При первом умножении 0,25 на 2 получаем 50 в дробной    х 2    части и 0 в целой части, при втором умножении получаем     0 50   00 в дробной части и 1 в целой части (целые выделены           х 2      жирным). Выписываем целые части сверху вниз: 0 1. 1 00

 

Рис.1.16. Перевод числа 0,25 в двоичную систему счисления

Для преобразования двоичного числа в десятичное необходимо записать сумму членов ряда и вычислить по следующему правилу:

a₁*2^n-1+a₂*2^n-2+…+a_n-1*2¹+a_n*2⁰ , a_n+1*2^-1+a_n+2*2^-2+… [1]

где: а – цифра двоичного числа (0 или 1),

   n - количество двоичных разрядов в целой части числа.

Пример перевода двоичного числа 1010 (здесь n=4) в десятичную систему (используем первую часть выражения [1] – до запятой):

1010₂ = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 8+0+2+0 = 10₁₀

Пример перевода дробной части двоичного числа 0.01 в десятичную систему счисления (используем вторую часть выражения [1] – после запятой):

01 = 0*2^-1 + 1*2^-2 = 0 + ¼ = 0,25. Получаем 0.01₂ = 0,25₁₀.

Для перевода десятичных чисел в любую другую систему счисления используется то же правило, что и в пункте 1 данного параграфа, только последовательно необходимо делить на основание этой другой системы: в восьмеричную – на число 8, в шестнадцатеричную – на число 16. Напомним, что в восьмеричной системе для записи используются цифры от 0 до 7, а в шестнадцатеричной – цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F (букве А соответствует десятичное число 10, букве В – число 11 и т.д.). Так, например, одно и тоже десятичное число 91 будет представлено в различных системах счисления (двоичной, четверичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной) следующим образом:

1011011₂ = 1123₄ = 133₈  = 91₁₀  = 5B₁₆

Обратный перевод чисел из некоторой системы счисления в десятичную выполняется также в соответствии с правилом [1], только в выражении записывается не множитель 2, а основание данной системы счисления (из четверичной – 4, из восьмеричной – 8 и т.д.).

Для быстрого перевода чисел рекомендуется использовать таблицу 1.2 (для чисел от 0 до 15) или компьютерную программу Калькулятор (в режиме Инженерный) либо воспользоваться функциями преобразования пакета Excel.

Таблица 1.2

Десятичн. число	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичное число	0	1	10	11	100	101	110	111
Шестнадц. число	0	1	2	3	4	5	6	7

Продолжение таблицы 1.2

8	9	10	11	12	13	14	15
1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
8	9	A	B	C	D	E	F

 

Часто бывает необходимым преобразовывать шестнадцатеричное число в двоичное и обратно. Для этого достаточно каждую цифру шестнадцатеричного числа записать четырьмя двоичными разрядами – тетрадой. И обратно – в двоичном числе справа налево выделить тетрады и заменить их цифрами шестнадцатеричной системы счисления.

Пример. Преобразовать число 3С12А в двоичную систему и обратно. Записываем каждую цифру четырьмя двоичными разрядами: 0011 1100 0001 0010 1010. Отбрасываем левые незначащие нули и получаем двоичное число 111100000100101010. Обратно: отделяем справа налево по 4 разряда (левые два разряда 11 – неполная тетрада) и заменяем их цифрами шестнадцатеричной системы – 3С12А.

Аналогично выполняется преобразование восьмеричного числа в двоичное и обратно. Разница состоит в том, что вместо тетрады используется триада – по три двоичных разряда на каждую цифру восьмеричного числа.