2020-01-14
146
Проведем расчет отношения правдоподобия при простых гипотезах, когда соответствующие функции правдоподобия 
; не содержат неизвестных параметров. Рассмотрим случай обнаружения сигнала с известной амплитудой 
и начальной фазой 
. (Для радиолокации этот случай является идеализированным, т.к. соответствует обнаружению цели с известной ЭПР, находящейся на известной дальности и обладающей известной радиальной скоростью. Однако такая модель сигнала наиболее наглядна, а также служит исходной для других, более сложных моделей, рассматриваемых ниже.)
В качестве помехи, присутствующей на выходе оптимального приемника будем рассматривать узкополосный гауссовский шум, среднеквадратическое отклонение которого s также считается известным. Для удобства будем рассматривать амплитуды принятого и расчетного сигналов, нормированные относительно с.к.о. шума: 
; 
.
Известно, что оптимальный фильтр такого сигнала представляет собой коррелятор, на опорный вход которого подается полная (с точностью до начальной фазы ) копия ожидаемого сигнала. Напряжение на выходе коррелятора описывается совокупностью отсчетов его огибающей 
и фазы 
относительно опорного гармонического колебания, синфазного с сигналом.
Соответствующие гипотезам 
и 
совместные плотности распределения отсчетов огибающей и фазы для выборки, содержащей 
пар отсчетов, можно записать в виде:
(2.1)
(2.2).
Соответственно, отношение правдоподобия и его логарифм
, 
.
Последнее выражение определяет функциональное преобразование, которому должны подвергаться отсчеты амплитуды и фазы на выходе согласованного фильтра при расчете логарифма отношения правдоподобия выборки (
).
На практике для удобства в качестве выходного эффекта оптимального фильтра обычно рассматривают напряжение на выходе амплитудно-фазовогодетектора 
.
Очевидно, что в этом случае 
. (3.3)
Рассчитаем математическое ожидание статистики (2.3), т.е. ее среднее приращение (информацию Кульбака-Леблера), приходящееся на один отсчет 
.
Используя известную формулу плотности вероятности произведения двух случайных величин, нетрудно убедиться, что при наличии сигнала величина имеет нормальное распределение:
(2.4)
мат. ожидание которого 
, а дисперсия 
. При нулевой гипотезе (
) мат. ожидание 
, дисперсия не меняется. Поскольку преобразование (2.3) линейно относительно можно утверждать, что распределение решающей статистики 
также нормально с параметрами:
; 
; 
(2.5)
Таким образом, для полностью известного сигнала абсолютная величина информации Кульбака-Леблера при гипотезе и альтернативе одинакова и равна квадрату эффективного значения 
.
