Весовой критерий; критерий Неймана-Пирсона

Структура оптимальных устройств обнаружения.

На практике вместо совместных вероятностей  часто пользуются условными вероятностями

 - вероятность правильного обнаружения;

 - вероятность пропуска сигнала;

 - вероятность ложной тревоги;

 - вероятность правильного необнаружения.

Поскольку решения, соответствующие одному и тому же условию являются взаимоисключающими, справедливы равенства

; .

Таким образом, можно записать:

где  - весовой множитель;

 - вероятность наличия полезного сигнала;

 - вероятность его отсутствия.

Очевидно, что при любых  и  минимум  соответствует максимуму разности , поэтому критерий минимума среднего риска может быть заменен эквивалентным ему весовым критерием: . Оптимизация по этому критерию означает, что при стремлении к максимизации  и минимизации  совокупный эффект следует оценивать с весовым множителем , зависящим от цен ошибок и априорных вероятностей наличия и отсутствия целей.

При сравнении оптимального решающего правило с любым другим справедливо неравенство  или , откуда следует, что при ; . Это означает, что среди всех правил, для которых вероятность ложной тревоги не больше заданной, оптимальной по весовому критерию обнаружитель обеспечивает максимальную вероятность правильного обнаружения. Существенно, что поскольку весовой коэффициент  по определению положителен, вышеуказанное неравенство справедливо при любых значениях априорных вероятностей и стоимостей ошибок.

Описанный весовой критерий, являющийся видоизменением байесовского, но не требующий знания априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала и стоимости ошибок, широко используется при анализе и синтезе систем обнаружения и носит название критерия Неймана-Пирсона. Решающее правило, оптимальное по этому критерию, соответственно именуют правилом Неймана-Пирсона.

Наряду с критерием Неймана-Пирсона находит применение ряд других критериев.

При неизвестных априорных вероятностях  и  часто за оптимальное принимают решающее правило, обеспечивающее минимум из двух значений условного риска, соответствующих состояниям  и :  или  (минимаксный критерий).

При известных  и , но невозможности обосновать стоимости ошибочных решений пользуются критерием максимума апостериорной вероятности, т.е. отдают предпочтение гипотезе, апостериорная вероятность которой выше.

Если неизвестны и стоимости ошибок и априорные вероятности, применяют критерий максимального правдоподобия; в соответствии с этим критерием выбирается гипотеза, для которой больше условная вероятность функция правдоподобия наблюдавшейся выборки

 или .

     Важно подчеркнуть, что перечисленные критерии не противоречат, а дополняют друг друга, более того, во многих практически важных случаях оптимизация по любому из этих критериев приводит к одной и той же структуре решающего правила.