Занятие 5 - Обработка данных экстремальных экспериментов на примере исследования операции вытяжки листовых образцов

 

Цели работы:

Ä закрепление основных приемов создания и форматирования таблицы

Ä освоение методов поиска решений с помощью встроенных средств Excel

Постановка задачи [5]:

Рассматривается задача отыскания максимального коэффициента вытяжки цилиндрического стаканчика из листовой заготовки с использованием метода крутого восхождения Бокса-Уилсона.

Напомним, что коэффициентом вытяжки k=D/d, где D - диаметр исходной заготовки, d - диаметр вытянутого из этой заготовки стаканчика. Предельная величина коэффициента вытяжки за один переход ограничена величиной максимальных напряжения s_rmax во фланце заготовки. Разрушение заготовки произойдет тогда, когда s_rmax достигнет предела прочности материала s_В. При этом значение коэффициента вытяжки является максимальным. На величину предельного коэффициента вытяжки, помимо других факторов, влияет радиус скругления кромки матрицы (r_м) и скорость деформирования (V).

Идея экстремальных экспериментов заключается в линейной аппроксимации гиперповерхности отклика, оценке составляющих градиента и проведении серии "мысленных" опытов (т.е. без выполнения реального эксперимента) в направлении оптимума.

Метод планирования эксперимента Бокса-Уилсона включает в себя построение линейной модели исследуемого объекта в виде y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+¼+b_nx_n, где n - количество факторов. В этом случае оценками составляющих вектора градиента являются коэффициенты полинома. Для движения по градиенту необходимо менять факторы пропорционально величинам коэффициентов. Такая процедура называется крутым восхождением. При движении по градиенту факторы изменяют с определенным шагом. Шаги изменения рассчитывают в натуральном масштабе.

Таким образом процедура решения задачи сводится к следующей последовательности шагов:

Ø проведение натурного эксперимента, для получения линейной модели y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃ (1), где y=s_rmax; x₁, x₂, x₃ - факторы k, r_м, V в кодовом масштабе (результаты натурного эксперимента заданы в качестве исходных данных);

Ø определению коэффициентов b_i линейной модели;

Ø определению составляющих градиента в натуральном масштабе;

Ø осуществлении крутого восхождения - т.е. подбора такого шага в направлении градиента из центра плана, при котором в формуле (1) y =s_В. Предел прочности материала, используемого в опытах 310 МПа

Методы решения с использованием Excel:

Для определения коэффициентов линейной модели (1) достаточно провести 4 опыта. Интервалы варьирования факторов DX_i относительно центра плана X_i0 в проведенном натурном эксперименте приведены в таблице 1. Матрица плана исходного натурного эксперимента в кодированном масштабе приведена в таблице 2. Кодированные значения факторов связаны с натуральными соотношениями вида:

 

 (2)

 

Таблица 1. Уровни варьирования факторов

Факторы	1	2	3
	k	rм, мм	V, мм/с
Xi0	1,3	3	0,5
DXi	0,1	1	0,2

 

Таблица 2. Матрица плана исходного эксперимента

№ опыта	x1	x2	x3	y ( srmax, МПа)
1	-1	-1	-1	189
2	1	-1	1	236
3	-1	1	1	167
4	1	1	-1	223

 

Коэффициенты регрессионной модели (1) определяют с помощью уже известной вам функции ЛИНЕЙН. Если вы забыли синтаксис функции ЛИНЕЙН, воспользуйтесь встроенной справкой Excel.

Исходная точка для крутого восхождения - центр плана с координатами в натуральном масштабе:

 

X_1о=1.3, X_2о=3, X_3о=0.5 (3)

 

Составляющие градиента вычисляются по формуле

g_i=b_iDX_{i (} 4)

 

Шаг крутого восхождения в натуральном масштабе по каждой из координат

X_i=X_i0+g_i*S (5)

 

Подбор такой кратности шагов S, одинаковой для всех координат, при котором y =s_В осуществляют с помощью команды меню Excel "Сервис-Подбор параметра".