Для линз, находящихся в воздухе

 

D=  (2)

 

Оптическая сила измеряется в диоптриях. Одна диоптрия есть оптическая сила линзы в воздухе, если f=1м. В зависимости от знака f оптическая сила может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Оптическую силу можно увеличить или уменьшить с помощью системы линз. Например, система двух тонких линз, расстояние между которыми очень мало ( <<f), эквивалентна тонкой линзе с фокусным расстоянием f₂, определяемым выражением:

 

 (3)

 

Рисунок 1 – Система двух линз конечной толщины.

 

Величина f₂ представляет собой заднее фокусное расстояние системы двух линз. В случае системы нескольких соприкасающихся тонких линз можно написать:

 

 (4)

 

где f₂ - заднее фокусное расстояние системы линз, f_i - задние фокусные расстояния каждой из совокупности линз, составляющих систему. Из равенства (4) следует, что оптическая сила системы соприкасающихся линз равна алгебраической сумме оптических сил отдельных линз системы.

Наконец, очень важной для практических целей является система двух (или более) линз конечной толщины. На рис.1 показана система из двух линз конечной толщины.

Главные плоскости, фокусы и их расстояния от соответствующих плоскостей обозначены: f₁, , Н₁,  - для первой линзы и f₂, , Н₂,  для второй линзы. Эти же величины для всей системы в целом обозначим f, f^’ H, H^’. Тогда для f, и f можем написать:

;  (5)

 

где d=H₂H’₁ - оптический интервал системы. Введем обозначения l=НH’₁, l’=H’₂H’, тогда

 

 (6)

 

По приведенным формулам можно рассчитывать размеры оптической системы, которые она имеет вдоль оптической оси.

Теория оптических систем справедлива только для тех случаев, когда через оптическую систему проходят параксиальные пучки лучей (т.е. пучки лучей, образующие с оптической ось системы очень малый угол). Для непараксиальных лучей наблюдаются различные искажения изображений, называемые аберрациями. Существует несколько видов аберраций: сферическая аберрация, астигматизм, кривизна изображения, кома, дисторсия, хроматическая аберрация и др.

Рисунок 2 – Преломление лучей в линзе при сферической аберрации.

 

Сферическая аберрация, астигматизм, кривизна изображения, кома и дисторсия возникают даже если на систему падают монохроматические пучки лучей. Поэтому эти аберрации называются монохроматическими. Хроматические аберрации возникают при падении на оптическую систему только немонохроматических пучков лучей.

Сферическая аберрация заключается в том, что световые лучи, выходящие из точки на оптической оси и падающие на преломляющую поверхность на различных расстояниях от оси (т.е. под разными углами), преломляются таким образом, что уже не собираются вновь в одной точке на оптической оси (рис.2).

Лучи, падающие на линзу на больших расстояниях от оси, преломляются сильнее, чем лучи, идущие ближе к оси. Благодаря этому, вместо одного изображения точки А получается бесконечное множество изображений, располагающихся между  и . Точка  соответствует изображению предмета А в параксиальных лучах, а точка  - изображению от лучей, идущих на максимальном расстоянии от оптической оси, т.е. от краевых лучей. Если в любой точке совокупности , ,..., , поместить перпендикулярно оптической оси экран, то на нем будет видно не точечное изображение предмета А, а размытое пятно, величина которого будет характеризовать поперечную сферическую аберрацию. Аналогичная картина будет иметь место, если на линзу падает параллельный пучок света (рис.3). Параксиальные лучи соберутся в заднем фокусе , тогда как краевые лучи, более удаленные от оси, пересекут оптическую ось в точке  (ближе к линзе).

Между фокусами  и  расположатся фокусы лучей, падающих на все остальные зоны линзы. Расстояние между крайними фокусами  и

 

 (7)

 

Рисунок 3 – Преломление лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси при сферической аберрации.

 

называется продольной сферической аберрацией или просто сферической аберрацией.

Рисунок 4 – Схема возникновения хроматической аберрации.

 

Если освещение линзы производится немонохроматическим светом, то возникает новый вид аберраций - хроматическая аберрация, которая обусловлена дисперсией света. Благодаря неодинаковости показателя преломления для лучей различных участков спектра, положение изображения предметов и фокусов для различных цветов не будут совпадать между собой. На рис.4 показана схема возникновения хроматической аберрации.

В точке  линза дает изображение в коротковолновом участке спектра (в фиолетовых лучах), а в точке А" - в длинноволновом (в красных лучах). Между точками А' и А" расположатся изображения в промежуточных участках спектра. Вследствие этого изображение точки А будет размытым и окрашенным.

Задача практической оптики, занимающейся расчетами, конструированием и изготовлением оптических приборов, состоит в том, чтобы добиться максимально возможного уменьшения аберрации. Уменьшение аберраций достигается путем комбинирования линз из различных сортов оптического стекла. Другим важным методом устранения аберраций является применение несферических поверхностей.

 

Оптические приборы

 

Оптические системы, состоявшие из линз, призм, зеркал и т.д., смонтированных определенным образом с помощью механических приспособлений; представляют собой оптические приборы. Существует огромное количество различных оптических приборов, применяющихся для решения тех или иных задач практической оптики. Мы рассмотрим два из них - микроскоп и телескоп.

Оба прибора имеют объектив и окуляр. Объектив представляет собой хорошо исправленную на аберрации линзу, обращенную к предмету; ее назначение - давать действительное изображение предмета, рассматриваемого через оптический прибор. Окуляр также представляет собой исправленную линзу или систему линз. Он дает мнимое, увеличенное и обратное изображение предмета. Если увеличение невелико (10-20-кратное), то можно обойтись одним окуляром, который в этом случае представляет собой лупу.

 

Рисунок 5 – Построение изображения предмета в лупе.

 

1. Лупа. Её действие можно выяснить из рис.5. В простейшем случае она представляет собой короткофокусную собирающую линзу. Предмет АВ, который рассматривается с помощью линзы L, служащей лупой, располагается между линзой и ее фокальной плоскостью F. После прохождения линзы лучи дают мнимое увеличенное изображение, которое глаз Е видит в плоскости А' В'.

Предмет АВ находится практически в фокальной плоскости F. Если пренебречь расстоянием между плоскостью предмета АВ и фокальной плоскостью F, то из подобия треугольников АВС и А'В'С следует, что

 

, (8)

 

но А'В'/АВ =N - увеличение даваемое лупой, d - расстояние наилучшего зрения нормального глаза, равное 25 см. Следовательно, увеличение лупы можно найти из выражения:

 

N= . (9)

 

Величина f для лупы  1,2-5 см. Следовательно, лупы могут давать увеличения до 20-кратного. Увеличение лупы обозначается цифрой, показывающей кратность увеличения, со знаком умножения наверху, например 20^х означает двадцатикратное увеличение.

2. Микроскоп. При рассмотрении очень мелких предметов нужны значительные увеличения, которые не могут быть получены с помощью простой лупы. Для этой цели необходима более сложная оптическая система, которой является микроскоп.

Принципиальная оптическая схема и ход лучей в микроскопе изображены на рис.6. Короткофокусная линза L₁ служит объективом, а другая короткофокусная линза L₂ – окуляром. Предмет АВ помещается перед объективом на расстоянии, немного большем переднего фокусного расстояния объектива.

 

Рисунок 6 – Принципиальная оптическая схема и ход лучей в оптическом микроскопе.

 

Вследствие этого объектив дает действительное, сильно увеличенное изображение  предмета. Увеличение, даваемое объективом, равно

 

, (10)

 

где f₁ - переднее фокусное расстояние объектива,  - расстояние от объектива до изображения, практически равное расстоянию от объектива до переднего фокуса окуляра. Последнее обычно у окуляра микроскопа очень мало, так что приближенно можно считать  равным расстоянию от объектива до окуляра. Величина  определяет длину трубы микроскопа, несущею объектив и окуляр. Ее называют тубусом микроскопа. Из формулы (10) следует, что

 

. (11)

 

Окуляр L₂ действует как лупа и дает увеличенное мнимое изображение . Увеличение окуляра L₂ равно

 

, (12)

 

где  - переднее фокусное расстояние окуляра L₂. Из выражения (12) следует, что

. (13)

 

Полное увеличение микроскопа N определится как отношение А"В"/АВ. Из найденных выражений (11) и (12) для увеличения микроскопа N получим следующее выражение:

 

 (14)

 

Таким образом, увеличение микроскопа тем больше, чем больше длина его тубуса  и чем меньше фокусные расстояния объектива и окуляра. Увеличение оптического микроскопа достигает величин около 2000.

Микроскоп может давать не только мнимое изображение, но и действительное. Для этого достаточно несколько выдвинуть окуляр вверх, чтобы его передний фокус F₂,- оказался выше изображения А'В', даваемого объективом. Тогда изображение, даваемое окуляром, будет лежать не ниже объектива, а выше его и будет действительным. Меняя расстояние окуляра от А'В', можно по желанию менять величину получаемого действительного изображения.

3. Телескоп. Микроскоп употребляется для рассматривания очень малых близко расположенных предметов. Однако микроскоп не пригоден для рассмотрения удаленных предметов. В этом случае изображение получается между фокусным и двойным фокусным расстоянием. Поэтому оно оказывается сильно уменьшенным. Причем это уменьшение тем значительнее, чем короче фокусное расстояние объектива.

Отсюда следует, что для рассматривания удаленных предметов нужно брать объектив с возможно большим фокусным расстоянием, т.е. оптическая схема прибора для наблюдения удаленных объектов (телескопа) должна включать длиннофокусный объектив L₁ и окуляр (рис.7). Объектив дает вблизи своей второй фокальной плоскости действительное обратное изображение А'В' удаленного предмета АВ (на рисунке не показан). Ввиду того, что предмет удален на большое расстояние, каждая его точка посылает на объектив практически параллельный пучок лучей.

 

Рисунок 7 – Принципиальная оптическая схема и ход лучей в телескопе.

 

Буквами А обозначены лучи, идущие от края предмета А, а буквами В –лучи, идущие от края В. Лучи, параллельные оптической оси, идут от середины предмета, расположенной на оптической оси. Лучи, идущие от крайних точек предмета, образуют угол , под которым, следовательно, и виден предмет из центра объектива. Величина этого угла практически равна:

 

, (15)

 

где -  - второе фокусное расстояние объектива.

Окуляр  дает мнимое изображение . Нас интересует в данном случае его угловая величина  . Из чертежа видно, что она приблизительно равна:

 

, (16)

 

где –f₂ - первое фокусное расстояние окуляра. Угловое увеличение, которое дает телескоп, будет равно

 

, (17)

 

т.е. оно равно отношению фокусного расстояния объектива к фокусному расстоянию окуляра. Следовательно, увеличение телескопа тем больше, чем больше фокусное расстояние объектива и меньше фокусное расстояние окуляра. Изображенный на рис.7 телескоп, дает перевернутое изображение. Если необходимо получить прямое изображение, то, кроме объектива и окуляра, в телескопе должна быть оборачивающая система, которая может быть как линзовой, так и призменной.

Телескопы находят широкое применение в астрономии для наблюдения Солнца, Луны, звезд, туманностей и других объектов.

 

Описание экспериментальной установки

 

Внешний вид и схема устройства микроскопа изображены на рис.8. Оптическая система микроскопа делится на две части; осветительную и наблюдательную. Осветительная часть состоит из подвижного зеркала 1, служащего для направления лучей от осветителя на рассматриваемый объект, конденсора 2, образующего на объекте сходящийся пучок света; съемного светофильтра 4 и укрепленной на конденсоре апертурной диафрагмы 3, служащей для регулировки освещенности объекта. Наблюдательная часть состоит из объектива 5, окуляра 7 и призмы 6, которая служит для направления вертикальных лучей, прошедших объектив, в наклонный тубус. Объектив представляет собой систему линз, собранных в единой оправе. Передняя линза служит для увеличения, остальные же предназначены для исправления недостатков изображения, создаваемых передней линзой. Окуляр микроскопа обычно состоит из двух линз: верхней - глазной и нижней - собирающей, необходимой для того, чтобы все лучи, прошедшие через объектив, попали в глазную линзу окуляра. Микроскоп имеет три объектива, дающих различное увеличение, которые закреплены в револьвере 11, и три сменных окуляра.

Механическая система микроскопа состоит из массивного основания 8, тубуса держателя, коробки с микрометрическим механизмом 9 для перемещения тубуса и предметного столика 10, на котором укреплены пружины, прижимающие препарат к предметному столику.

 

Рисунок 8 – Внешний вид и устройство оптического микроскопа.

 

Выполнение работы

 

Целью данной работы является определение увеличения микроскопа и его оптической длины трубы. Из формулы (14) следует, что увеличение микроскопа равно произведению увеличения объектива N₁ и увеличения окуляра N₂:

 

, (18)

 

здесь  - длина тубуса микроскопа, равная

 

, (19)

 

где n - показатель преломления, L - оптическая длина, равная расстоянию между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра. Для воздуха n = 1, и длина тубуса совпадает с оптической длиной , т.е. формула (18) перепишется в виде

 

. (20)

 

Из этой формулы можно определить оптическую длину трубы микроскопа, исключив фокусные расстояния  и , которые неизвестны. Для этого необходимо дважды измерить увеличение микроскопа, изменив длину тубуса на . Увеличение микроскопа при первом измерении (при длине тубуса L) определится формулой (20); при втором (при длине тубуса (L+ L)) - формулой (21).

 

. (21)

 

Взяв отношение N к N₁, получим

 

. (22)

 

Зная N и N₁, можно определить оптическую длину трубы микроскопа:

 

. (23)

 

Формула (20) неудобна для определения увеличения микроскопа, т.к. в нее входят величины, которые не могут быть определены непосредственными измерениями.

Для нахождения увеличения микроскопа можно воспользоваться методом сравнения двух линеек. Пусть  - цена деления одной линейки,  -цена деления второй линейки. Если совместить эти линейки, одну из которых рассматривать в микроскоп, а вторую - невооруженным глазом, то n₁ делений одной линейки покроются n₂ делениями второй. Тогда можно записать равенство

 

. (24)

 

А формула для определения увеличения микроскопа будет иметь вид

 

. (25)

 

Определение увеличения микроскопа

Для определения увеличения микроскопа нужно:

1. Взять "объективную" шкалу, положить ее на столик микроскопа и с помощью микрометрического винта добиться отчетливого видения не менее 2-3-х штрихов в поле зрения микроскопа.

2. Включив выпрямитель, осветить масштабную линейку, находящуюся на расстоянии 25 см от глаза.

3. Для совмещения двух шкал используют зеркальную насадку, представляющую собой зеркальце, укрепленное под углом 45° к оси микроскопа, в середине которого есть узкая прозрачная полоска, освобожденная от амальгамы. Поместить зеркальную насадку на окуляр микроскопа; при этом штрихи "объективной" линейки будут видны в прорезь насадки, а штрихи масштабной линейки отразятся в ее зеркальной части. Изображения обеих шкал окажутся в одной плоскости.

4. Добиться (путем перемещения объективной шкалы на столике микроскопа) совмещения обеих шкал и взаимной параллельности их линий. Подсчитать сколько делений масштабной линейки n₂ находится сначала в одном, затем в двух и трех делениях объективной линейки n₁.

5. Зная цены делений линеек (  - масштабная линейка;  - объективная линейка), а также n₂ и n₁, по формуле (25) определить увеличение микроскопа.

6. Определить среднюю величину увеличения микроскопа и посчитать ошибки измерений.

Определение оптической длины трубы микроскопа.

1. Выдвинуть окуляр на  2-3 см, закрепить его и линейкой измерить увеличение оптической длины трубы при выдвижении окуляра .

2. Тем же способом, что и в 1 части работы, определить увеличение микроскопа N₁, которое будет отлично от N.

3. По формуле (23), зная  и средние значения увеличения микроскопа в первом N и во втором случаях N₁, определить оптическую длину трубы микроскопа. L.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. В чем состоит физический смысл понятия оптической силы линзы?

2. Расскажите о разных видах аберраций.

3. В чем заключается аккомодация глаза?

4. Какое изображение дает лупа, действительное или мнимое? Как определяется ее увеличение?

5. От каких параметров микроскопа зависит его увеличение? Каков порядок величины фокусных расстояний объектива и окуляра?

6. Какие аберрации опасны для объектива микроскопа, а какие - для окуляра? Как они устраняются?

7. Объясните ход лучей в микроскопе.

8. Что называется разрешающей способностью микроскопа?

9. Что называется оптической длиной микроскопа?

10. Почему масштабная линейка расположена на расстоянии 25 см?

11. Какое значение в получении изображения имеет зеркальная насадка?

12. Какова оптическая сила телескопической системы? От чего зависит увеличение телескопа?

13. Обладает ли какими-нибудь преимуществами перед нормальным близорукий глаз? дальнозоркий глаз?

14. Каков порядок величины размеров объектов, неразличимых при наблюдении в микроскоп? Каковы пути повышения разрешающей способности микроскопа?

15. Лучше современные телескопы (рефлекторы) имеют диаметры зеркала 5 - 6м. В чем смысл использования больших диаметров? Можно ли с помощью таких телескопов определить угловые размеры звезд?

16. Можно ли построить телескоп без объектива?

17. Вывести формулу увеличения микроскопа из построения хода лучей в микроскопе.