Определитель n-го порядка. Теорема о разложении определителя

Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет произведение n элементов матрицы стоящих в разных строках и разных столбцах, знак с которым каждое слагаемое входит в алгебраическую сумму определяется чётностью подстановки составленной из индексов элементов входящих в данное произведение.

Теорема.

Пусть дана матрица А порядка n, тогда определитель матрицы А можно представить в виде суммы произведений элементов какой-либо строки на их алгебраическое дополнение. Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другой строки равна нулю. Аналогичное утверждение имеет место для столбцов.

det(A)= , , если i¹j. , если j¹k.

Данная теорема позволяет сводить вычисления порядка n к порядку n-1. Если определитель матрицы А равен нулю, то такая матрица называется вырожденной. Если какой-нибудь минор равен нулю, то он называется вырожденным минором.

Наивысший порядок не вырожденных миноров называют – рангом (rang(A))

 

4. Обратная матрица. Построение обратной матрицы.

Пусть дана квадратная матрица А=(a_ij), матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство: А´В=В´А=Е. Если такая матрица В существует, то её обозначают А^-1.

Метод Гаусса нахождения обратной матрицы:

1) Строится матрица Ã=(А/Е), которая получается из матрицы А приписыванием справа единичной матрицы.

2) При помощи элементарных преобразований матрицу Ã приводят к виду (Е/В), если это удаётся сделать, то матрица В будет обратной. Если невозможно, то обратной матрицы не существует, как правило это происходит тогда, когда в результате элементарных преобразований получается матрица, у которой в некоторой строке первые n элементов равны нулю.

 

 

5. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

Системой линейных уравнений называют систему равенств:

a_ij, b_{j –} заданные. x_{j –} неизвестная.

Решением этой системы называется такой набор чисел x₁, x₂,…x_n. для которых уравнения превращаются в верные равенства.

A= , Х= , В=

Х и В – называются вектор столбцами. В матричном виде система выглядит А´Х=В.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система не совместна.

Система называется определённой, если она имеет единственное решение, если система имеет более одного решения то система неопределённая.

Решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера.

Где А_ij – алгебраические дополнения. Умножим первое у-е на А₁₁, а второе на А₂₁ и тд. Сложим получившиеся равенства:

По теореме о разложении определителя по элементам столбца сумма слагаемых стоящих перед x₁ будет равна определителю матрицы А. Сумма слагаемых перед x₂ и x₁ будет равна нулю. В правой части равенства стоит величина равная определителю, который получается из определителя матрицы А с заменой первого столбца на вектор столбец В. Обозначим этот определитель через , тогда равенство можно записать в виде , если первую строку системы умножить на А₂₁ и тд., и сложим получившиеся равенства, то получим , где  - определитель полученный из определителя матрицы А заменой второго столбца на вектор столбец В. Продолжая этот процесс получим систему линейных уравнений:

 

Числа x_1, x₂, …x_n являются решениями системы.

 

6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Для данной системы построим расширенную матрицу, Ã которая равна:

Ã=

Будем выполнять над матрицей А элементарные преобразования так, чтобы привести её к виду, когда все элементы лежащие ниже диагонали будут равны нулю. Под элементарными преобразованиями понимают: изменение местами двух строк (столбцов) матрицы Ã; прибавление к элементам одной строки элементов другой умноженных на некоторое число.

à =

Расширенная матрица иногда называется присоединённой. Каждой системе линейных уравнений соответствует своя матрица Ã, зная матрицу Ã можно записать систему линейных уравнений, которая ей соответствует.

Если k¹n, то такой вид матрицы называется трапецевидный.

Если k=n, то такой вид матрицы называется треугольный.

Если получается трапецевидная матрица в процессе элементарных преобразований, это означает что система имеет не одно решение.

Если получается треугольный вид то матрица имеет одно решение.

Если матрица Ã приведена к трапецевидному виду, то перенося все неизвестные, которые расположены правее диагонали и придавая им произвольные значения, можно найти всевозможные решения первоначальной системы.

 

7. Однородные системы. Условия существования нулевых решений. Понятие ранга матрицы.

Рассмотрим АХ= , = , Х= - векторстолбец.

Эта однородная система всегда является совместной, т.к. она всегда имеет решение х=0. Решения этой системы обладают свойствами:

Если х₁ и х₂ являются решениями системы, то  так же является решением этой системы.

 

Говорят, что решение однородной системы образует конечномерное линейное векторное пространство.

Пусть имеется  векторов: .

Векторы  называют линейно независимыми, если из равенства следует, что все , в противном случае если векторы  линейнозависимые.

Пусть матрица А имеет вид:

, , ,

Тогда систему можно записать в виде , из равенства видно что если система не имеет не нулевых решений, то векторы  являются линейнонезависимыми. Если система имеет нулевое решение, то векторы  являются линейнозависимыми.

Теорема:

Для того чтобы векторы  были линейнонезависимы, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы А образованный этими элементами равнялся n. Таким образом, чтобы решить однородную систему у-ий АХ=  необходимо выполнить следующие действия: вычислить ранг матрицы А, если ранг совпадает с числом неизвестных, то однородная система линейных у-ий имеет одно решение. Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных, то в матрице А можно найти S строк и S столбцов, таких, что определитель составленный из элементов лежащих на пересечении выбранных строк и столбцов не равнялся нулю.

Предположим для определённости, что определитель состоит из S строк и S столбцов отличных от нуля, тогда перенося слагаемые  в правую часть и оставляя в системе первые S уравнений, получим систему:

(3)

 - свободные неизвестные (базисные неизвестные), придавая базисным неизвестным произвольные числовые значения из системы (3) можно найти , таким образом однородная система линейных у-ий может иметь одно или бесконечное множество решений, отсюда следует, что может иметь бесконечное кол-во решений или быть несовместной.

Минором k-го порядка называют определитель размерностью (k´k), выбранный из матрицы размерностью (m´n).

Если в матрице А вычёркивается строка N_i, а столбец N_j, то минор, получающийся при удалении строки и столбца называется алгебраическим дополнением.

Наивысший порядок не вырожденных миноров называют – рангом (rang(A))

 

 

9. Векторные величины. Линейные операции с векторами.

Вектор – направленный отрезок, таким образом чтобы задать вектор необходимо задать его длину и направление.

Два вектора называют равными, если они имеют одинаковую длину и направление.

Вектор называют нулевым, если длна равна нулю (он не имеет направления).

Если на плоскости введена прямоугольная система координат, то для того чтобы задать вектор надо указать начало вектора т. А и его окончание т. В., в этом случае вектор обозначается

Пусть т. А имеет координаты , т. В

Тогда

Пусть a и b обозначают углы, которые образует вектор  с положительным направлением координатных осей. a и b - углы определяющие направление вектора , cos этих углов называются направляющими:

,

т.к. при параллельном переносе ни длина ни направление вектора не изменяется, то удобно расположить все векторы таким образом, чтобы они начинались в начале координат. В этом случае для задания вектора достаточно указать т., где он заканчивается.

Действия с векторами.

 

На основе полученных векторов, построим параллелограмм. Проведём диогональ АВ. Тогда   Для каждого вектора АВ не равного нулевому существует противоположный, который такой же длины но другого направления. Вектор обратный вектору АВ, обозначается (-АВ)

Разностью двух векторов А₁В₁ и А₂В₂ называют вектор .

Вектор АВ называется произведением вектора А₁В₁ на вещественное число l и обозначается следующим образом:

а) если длина вектора АВ равна l  и вектор АВ имеет тоже направление что и вектор А₁В₁.

б) если l=0, то l А₁В₁=0

в) если l<0, то l  А₁В₁=(-())

10. Скалярным произведением векторов a и b называют число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. Пусть ça çи çb ça - угол между векторами, тогда из определения следует ab = ça ç× çb çcos a. Пусть a1 – угол который образует вектор a с положительным направлением оси ОХ. a2 – угол который образует вектор b с положительным направлением оси ОХ. a=a1-a2 ab = êaê×êbêcos (a1-a2).

êa êcos a1 × êb êcos a2 + êa êsin a1 × êb êsin a2 = x1x2+y1y2. Таким образам скалярное произведение векторов a и b можно вычислить как сумму произведения их соответствующих координат. Это определение скалярного произведения эквивалентно первоначальному. Свойства векторов: 1.)ab = ba. 2.)a × 0 = 0. 3.) a(b +c) = ab + ac. 4.) (la) × (lb) = l(ab). 5.) aa = êa ê². 6.) aa ³ 0 aa = 0 Û a = 0. 7.) ab = 0 Û a ^ b. Предполагается, что нулевой вектор ^ любому вектору. Аналогичным образом определяется скалярное произведение для векторов расположенных в трехмерном пространстве свойства 1 –7 остаются неизменными.

 

11. Линейная зависимость и независимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на || прямых.

Если векторы  и являются коллинеарными, то они наклонены под одним и тем же углом положительного направления оси ОХ, значит Þ , Þ - условие коллинеарности векторов.

Два вектора называются компланарными если они находятся в разных плоскостях и не пересекаются.

 

 

12. Декартовая прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком – нибудь порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая – осью ординат. Начало координат обозначают буквой О, ось абсцисс – символом ОХ, ось ординат – символом ОУ. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа Х = ОМх, У = ОМу,  где Мх и Му суть проекции точки М на оси  ОХ и ОУ, ОМх обозначает величину отрезка ОМх оси абсцисс, ОМу – величину отрезка ОМу оси ординат. Число Х называется абсциссой точки М, число У называется ординатой этой же точки. Символ М (Х; У) обозначает, что точка М имеет абсциссой число Х, а ординатой число У. Ось ОУ разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси ОХ, называется правой, другая – левой. Точно так же ось ОХ разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси ОУ, называется верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые номеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй – лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей – лежащая в левой ив нижней полуплоскости, четвертой – лежащая в правой и в нижней полуплоскости.

13. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [ ab ] и определяемый следующими тремя условиями: 1) модуль вектора [ ab ] равен ïaï× ïbï sin j, где j - угол между векторами a и b; 2) вектор [ ab ] не

неперпендикулярен к каждому из векторов a и b; 3) направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если вектор a, b и [ab] приведены к общему началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. по вектору a), а указательный – по второму (т. е. по вектору b). Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: [ab] = -[ab]. Модуль векторного произведения [ab] равен S параллелограмма, построенного на векторах a и b: ê[ab] ê = S. Само векторное произведение может быть выражено формулой [ab] = Se, где e – орт векторного произведения. Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны. В частности [aa ] = 0. Если система координатных осей правая и векторы a и b заданы в этой системе своими координатами: a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2;Y2;Z2}, то векторное произведение вектора a на вектор b определяется формулой [ab]  =   Свойства:1) aa =q  2) ab = (ba) 3) a(b1 + b2) = ab1 + ab2 4) (la)b = a(lb) = l(ab).

Смешанное произведение. Пусть даны a(X1; Y1; Z1), b(X2; Y2; Z2), c(X3; Y3; Z3).

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор c, т. е. [ab]c. Именно место тождество: [ab]c = a[bc], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab]c употребляется более простой символ: abc. Таким образом, a,b,c = [ab]c, abc = a [bc]. Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком плюс. Если векторы a,b,c компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc рано нулю; иначе говоря, равенство  abc = 0, есть необходимое и достаточное условие ком планарности векторов a,b,c. Если векторы a,b,c заданы своими координатами: a ={X1; Y1; Z1}, b = {X2; Y2; Z2}, c = {X3;Y3;Z3;}

14. Простейшие задачи аналитической геометрии. 1) Вычислим расстояние между двумя точками на плоскости:   

2) Деление отрезков в данном отношении. Пусть на плоскости даны две точки с координатами М1(X1;Y1) и M2(X2;Y2). Найти координаты точки М лежащей между М1 и М2 на отрезке М1М2, если выполняется условие: . Проекции точки М на ось абсцисс будет делить отрезок X1X2 в той же самой проекции, потому , l1X2 - l1X = l2X - l2X1. Аналогичным образом можно получить, что , , ,

Полярные координаты.

  Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа r = ОМ и q < АОМ. Угол q при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число r называется первой координатой, или полярным радиусом, число q- второй координатой, или полярным углом точки М. Символ М (r;q) обозначает, что точка М имеет полярные координаты r и q. Полярный угол q имеет бесконечно много возможных значений. Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам -p < q ≤ +p, называется главным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2)при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной полуосью ординат. При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам cosq, sinq. В этом же случае формулы , tgq =   являются формулами перехода от декартовых координат к полярным. При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштабов для обеих систем одинаковыми.