2020-01-14
97
Сглаживание с помощью скользящих средних
Скользящая средняя позволяет сгладить колебания отдельных уровней динамического ряда и довольно отчётливо выявить тенденцию развития показателей. Этот метод является эмпирическим приёмом предварительного анализа.
Таблица 1.5.Расчёт скользящих средних ввода в действие жилья за 2006-2010 гг., м2 
| Годы | Ввод в действие жилья, м2 | Скользящая сумма | Скользящая средняя |
| 2006 | 5958,2 | - | - |
| 2007 | 5841,5 | 14890,18 | 4963,393 |
| 2008 | 3090,6 | 15572,69 | 5190,897 |
| 2009 | 6640,7 | 14920,4 | 4973,467 |
| 2010 | 5189,2 | - | - |
Вывод: анализируя предварительные данные по скользящим средним показателей ввода в действие жилья можно сделать предварительные выводы о том, что эти показатели подчиняются уравнению параболы.
Таблица 1.6. Расчёт скользящих средних среднемесячной заработной платы за 2006 - 2010 гг., грн.
| Годы | Среднемесячная заработная плата, грн. | Скользящая сумма | Скользящая средняя |
| 2006 | 287,59 | - | - |
| 2007 | 308,43 | 900,28 | 300,0933 |
| 2008 | 304,26 | 845,06 | 281,6867 |
| 2009 | 232,37 | 819,01 | 273,0033 |
| 2010 | 282,38 | - | - |
Вывод: анализируя предварительные данные по скользящим средним показателей среднемесячной заработной платы можно сделать предварительные выводы о том, что эти показатели подчиняются уравнению прямой, при чем заметна тенденция к понижению.
Метод аналитического выравнивания
Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определённой кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя. При этом выравнивании динамического ряда закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени: Yt = f(t). Выбор формы кривой во многом определяет результаты экстраполяции тренда, поэтому основная задача этого метода состоит в выборе аналитического уравнения, которое наилучшим образом будет описывать тенденцию динамики изучаемых показателей.
Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, которая описывается уравнением вида:
(1.13)
Для вычисления параметров тренда воспользуемся методом наименьших квадратов. Оптимизация данного метода состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выровненных уровней. Для каждого типа тренда МНК даёт систему нормальных уравнений, разрешив которую вычисляются параметры тренда.
Разрешающая система нормальных уравнений метода аналитического выравнивания по прямой имеет вид:
, (
) 
Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе описывается уравнением вида:
(1.14)
Разрешающая система нормальных уравнений метода аналитического выравнивания по параболе имеет вид:
, (
)
, где b0, b1 и b2 - параметры уравнений
Таблица №1.7 Аналитическое выравнивание ввода в действие жилья по прямой
| годы | Ввод в действие жилья, м2 | ti | Yiti | Ti 2 | Yt | yi-yt | (yi-yt) 2 |
| 2006 | 5958,2 | -2 | -11916,3 | 4 | 5491,758 | 466,442 | 217568,1 |
| 2007 | 5841,5 | -1 | -5841,45 | 1 | 5417,88 | 423,62 | 179453,9 |
| 2008 | 3090,6 | 0 | 0 | 0 | 5344,002 | -2253,4 | 5077821 |
| 2009 | 6640,7 | 1 | 6640,67 | 1 | 5270,124 | 1370,576 | 1878479 |
| 2010 | 5189,2 | 2 | 10378,32 | 4 | 5196,246 | -7,046 | 49,64612 |
| Итого | 26720,01 | 0 | -738,78 | 10 | 26720 | 0,19 | 7353371 |
Значение параметров уравнения прямой рассчитывается следующим образом:
b0=(Syi)/n= 26720,01/5 = 5344,002
, 
Для данного уравнения b0 – показатель среднего уровня динамического ряда, т.к. вычислительная формула этого параметра совпадает с формулой простой арифметической. b1 – линейный коэффициент регрессии, показывающий направление тренда, в данном случае b1 
показывает тенденцию снижения уровней динамического ряда, что видно визуально из таблицы 1.7.
Таким образом, уравнение прямой имеет вид:
Таблица 1.8 Аналитическое выравнивание ввода в действие жилья по параболе
| годы | Ввод в действие жилья, м2 | ti | Yi*ti | Ti2 | yi*ti2 | Ti4 | Yt | Yi - Yt | (yi-yt)2 |
| 2006 | 5958,2 | -2 | -11916,3 | 4 | 23832,8 | 16 | 6010,592 | -52,392 | 2744,922 |
| 2007 | 5841,5 | -1 | -5841,45 | 1 | 5841,5 | 1 | 5158,473 | 683,027 | 466525,9 |
| 2008 | 3090,6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4825,18 | -1734,58 | 3008768 |
| 2009 | 6640,7 | 1 | 6640,67 | 1 | 6640,7 | 1 | 5010,713 | 1629,987 | 2656858 |
| 2010 | 5189,2 | 2 | 10378,32 | 4 | 20756,8 | 16 | 5715,072 | -525,872 | 276541,4 |
| Итого | 26720,01 | 0 | -738,78 | 10 | 57071,8 | 34 | 26720,03 | 0 | 6411438 |
Значение параметров уравнения параболы рассчитываются следующим образом:
, 
,
5 b0 = 26720,01– 10 b 2 b 2 = 259,413
57071,8 = 2(26720,01 – 10 b 2) + 34 b 2 
,
Таким образом, 
, 
, 
Уравнение параболы имеет вид:
Так как основной целью аналитического выравнивания является экстраполяция, следовательно, требуется выяснить какое из уравнений прямой или параболы – лучше описывает тенденцию динамики среднесписочной численности работников, для этого рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и коэффициент вариации:
, (1.15)
где n – число уровней ряда, m – число параметров в уравнении тренда (для прямой m=2), 
- соответственно фактическое и расчётное значения уровней динамического ряда.
где 
- средний уровень динамического ряда. (1.16)
Для уравнения прямой:
n = 5, m = 2
Для уравнения параболы:
n = 5, m = 3
Поскольку коэффициент вариации для уравнения параболы больше, чем для уравнения прямой, то уравнение прямой более точно описывает основную тенденцию динамики ввода в действие жилья.
Аналогичные расчеты аналитического выравнивания по уравнению прямой и параболы для среднемесячной заработной платы представлены в таблицах 1.9, 1.10
Таблица 1.9 Аналитическое выравнивание среднемесячной заработной платы по прямой
| годы | Среднемесячная заработная плата, грн | ti | Yi*ti | ti^2 | Yt | yi-yt | (yi-yt)^2 |
| 2006 | 287,59 | -2 | -575,18 | 4 | 300,302 | -12,712 | 161,595 |
| 2007 | 308,43 | -1 | -308,43 | 1 | 291,654 | 16,776 | 281,434 |
| 2008 | 304,26 | 0 | 0 | 0 | 283,006 | 21,254 | 451,733 |
| 2009 | 232,37 | 1 | 232,37 | 1 | 274,358 | -41,988 | 1762,99 |
| 2010 | 282,38 | 2 | 564,76 | 4 | 265,71 | 16,67 | 277,889 |
| Итого | 1415,03 | 0 | -86,48 | 10 | 1415,03 | 0 | 2935,64 |
Таблица 1.10 Аналитическое выравнивание среднемесячной заработной платы по параболе
| годы | Среднемесячная заработная плата, грн | ti | Yi*ti | ti^2 | yi*ti^2 | Ti^4 | Yt | yi-yt | (yi-yt)^2 |
| 2006 | 287,59 | -2 | -575,18 | 4 | 1150,36 | 16 | 289,299 | -1,709 | 2,920681 |
| 2007 | 308,43 | -1 | -308,43 | 1 | 308,43 | 1 | 297,158 | 11,272 | 127,058 |
| 2008 | 304,26 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 294,011 | 10,249 | 105,042 |
| 2009 | 232,37 | 1 | 232,37 | 1 | 232,37 | 1 | 279,858 | -47,48 | 2255,11 |
| 2010 | 282,38 | 2 | 564,76 | 4 | 1129,52 | 16 | 254,699 | 27,681 | 766,2378 |
| Итого | 1415,03 | 0 | - 86,48 | 10 | 2820,68 | 34 | 1415,03 | 0 | 3256,369 |
Значение параметров уравнения прямой для среднемесячной заработной платы рассчитываются аналогично вводу в действие жилья:
b0 
Линейный коэффициент регрессии меньше нуля, поэтому, как и дляввода в действие жилья, наблюдается тенденция снижения уровней динамического ряда среднемесячной заработной платы.
Уравнение прямой имеет вид:
Аналогичным способом найдем значения параметров уравнения параболы:
<0
, 
,
Таким образом, b0 = 294,011, b1 = - 8,65, b2 = -5,503
Уравнение параболы имеет вид:
Так как основной целью аналитического выравнивания является экстраполяция, следовательно, требуется выяснить какое из уравнений прямой или параболы лучше описывает тенденцию динамики ввода в действие жилья, для этого рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и коэффициент вариации:
Для уравнения прямой:
Для уравнения параболы:
Поскольку коэффициент вариации для уравнения параболы больше, чем для уравнения прямой, то уравнение прямой более точно описывает основную тенденцию динамики среднемесячной заработной платы.
