Геометрическая интерпретация напряженного состояния

 

Прежде всего дадим геометрическую интерпретацию напряженного состояния изотропного тела, отобразив это состояние в трехмерном пространстве главных нормальных напряжений s₁, s₂, s₃ (Рис. 4).

Начало координат соответствует отсутствию напряжений в теле. На осях координат лежат точки, отображающие простое растяжение или сжатиеівдоль этих осей. На координатных плоскостях s₁s₂, s₂s₃, s₁s₃ расположены точки, отображающие плоское напряженное состояние.

Прямая, наклоненная под одинаковыми углами a (cos a = 3 ^—.5) ко всем трем координатным осям, называется пространственной диагональю или гидростатической осью. Она определяет положение точек, соответствующих гидростатическому состоянию

s₁ = s₂ = s₃ = P.

Единичный вектор h, направленный вдоль гидростатической оси, определяется выражением

h = (1/ ×3 ) (i + j + k),

 

где i, j, k —единичные вектора по направлению осей s₁, s₂, s₃ (Рис.4). Плоскость, проходящая через начало координат (т. О) и перпендикулярная вектору h, называется девиаторной п лоскостью.

Так как направление нормали к девиаторной плоскости задается проекциями вектора h на оси координат, то из общего уравнения плоскости,іпроходящей через рассматриваемую точку с координатами (s₁^*, s₂^*, s₃^*)_,і

A( s₁-s₁^* ) + B( s₂-s₂^* ) + C( s₃-s₃^* ) = 0,

где A = i, B = j, C = k, следует, что уравнение такой плоскости имеет вид

 

s₁ + s₂ + s₃ = 0.

 

Любая точка M пространства s₁, s₂, s₃, имеющая координаты s₁^*, s₂^*, s₃^*, изображает некоторое напряженное состояние, характеризуемое главными напряжениями s₁, s₂, s₃ (Рис. 4).

 

Дадим геометрическую интерпретацию величинам s_ср и t_i. В качестве образа напряженного состояния мы будем рассматривать не точку М, а вектор ОМ, соединяющий начало координат О с точкой М (s₁, s₂, s₃):

ОМ = s₁ i + s₂ j + s₃ k.

Если мы разложим вектор OM, характеризующий напряженное состояние, на составляющие MN и ON, параллельную и перпендикулярную гидростатической оси, соответственно, то составляющая MN определится выражением MN = (OM. h)h, где

OM. h = ( s₁^* i + s₂^* j + s₃^* k). (1/ ×3 ) (i + j + k) =

= ( s₁^* + s₂^* + s₃^* ). / ×3 = s_ср×3 .і

Следовательно

                               MN = s_ср×3 h = s_ср (i + j + k),

т.е. проекция вектора напряжений OM на гидростатическую ось пропорцио-нальна величине среднего напряжения s_ср.

Учитывая выражения для векторов MN и OM, можно записать

ON = OM —MN = ( s₁^* i + s₂^* j + s₃^* k) - s_ср (i+ j+ k) =

= ( s₁ - s_ср )i + ( s₂ - s_ср )j + ( s₃ - s_ср ) k.

В последнем выражении величины, находящиеся в круглых скобках,іпредставляют собой главные нормальные девиаторные напряжения s ₁ = ( s₁ - s_ср ), s ₂ = ( s₂ - s_ср ), s ₃ = ( s₃ - s_ср ).

Так как вектор ON по определению перпендикулярен гидростатической оси, то он должен лежать в девиаторной плоскости. Иначе говоря, проекции вектора напряжений OM ( s₁, s₂, s₃ ) на девиаторную плоскость равна «вектору девиаторных напряжений » s ₁, s ₂, s ₃. Иначе это можно выразить и так: точка № - проекция точки M на девиаторную плоскость —изображает девиаторные напряжения, отвечающие точке M. Любой вектор, принадлежащий девиаторной плоскости, характеризует девиатор напряжений какого-либо напряженного состояния M (s₁, s₂, s₃).

Радиальное расстояние между любой точкой, находящейся на гидростатической оси, и точкой M, расположенной на плоскости, параллельной девиаторной плоскости (в частности, расстояние между точкой O (начало координат) и точкой N, расположенной на девиаторной плоскости, проходящей через начало координат), найдем по известной (раздел курса математики «Аналитическая геометрия в пространстве») формуле

 

ON = ×2. [ (s₁^* - s₂^*)² + (s₂^* - s₃^*)² + (s₁^* - s₃^*)² ]/ 6 ] ^0.5 = 2^0.5.t_i.

 

Иначе говоря, радиальное расстояние от гидростатической оси линейно зависит от интенсивности касательных напряжений t_i.

Появление вектора ON связано с неравнокомпонентностью напряженного состояния. Совершенно очевидно, что когда рассматриваемая точка M находится на гидростатической оси, то вектор главных девиаторных напряжений ON отсутствует в силу того, что s ₁ = 0, s ₂ = 0, s ₃ = 0.

Так как увеличение радиального расстояния ON означает увеличениеіинтенсивности касательных напряжений t_i, то для каждой точки M вектор ON определяет величину девиаторного напряжения, которое вызывает появление сдвигов, т.е. вектор ON определяет условие текучести для данного напряженного состояния.

Так как точка N является проекцией на девиаторную плоскость и любой другой точки, лежащей на прямой MN, то вектор главных нормальныхідевиаторных напряжений ON = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k является общим для всехіточек любой прямой, перпендикулярной девиаторной плоскости. По этойіпричине если условие текучести выполняется для точки N, то оно будет выполняться и для всех точек бесконечной прямой NM. Все комбинации s ₁, s ₂, s ₃, для которых выполняется данное условие текучести, образуют на девиаторной плоскости кривую текучести. Кривая текучести в девиаторной плоскости является направляющей цилиндра, образующие которого параллельны гидростатической оси. В пространстве главных нормальных напряжений возникает цилиндр текучести.