Однофазные цепи.
В результате изучения данного раздела студенты должны:
1) знать содержание терминов: резистор, сопротивление, индуктивная катушка, индуктивность, индуктивное сопротивление, конденсатор, емкость, емкостное сопротивление, фаза, начальная фаза, угол сдвига фазы, период, частота, угловая частота, мгновенное, действующее и среднее значения гармонических величин, полная, активное, реактивное, комплексное сопротивления и проводимость; полная, активная, реактивная комплексная мощность; характеристики и параметры элементов схем замещения цепей однофазного тока; условия достижения резонансов напряжений и токов;
2) понимать особенности электромагнитных процессов в электрических цепях синусоидального тока, энергетические соотношения в цепях синусоидального тока, экономическое значение коэффициента мощности; особенности простейших электрических цепей с магнитосвязанными элементами;
3) уметь составлять дифференциальные и комплексные уравнения состояния линейных цепей; представлять гармонически изменяющиеся величины тригонометрическими функциями, графиками, изображающими величинами и комплексными числами; строить векторные диаграммы неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей; определять опытным путем параметры схем замещения пассивных двухполюсников; с помощью электроизмерительных приборов измерять токи, напряжения и мощности в электрических цепях; строить потенциальные (топографические) диаграммы для неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей.
|
|
При изучении явлений резонанса в цепях переменного тока необходимо знать условия их возникновения, также обратить внимание на практическое применение резонанса токов для искусственного повышения коэффициента мощности в промышленных электроустановках. В то же время возникновение резонанса напряжений в электрических устройствах может представлять опасность, как для самих устройств, так и для обслуживающего персонала.
Изучая явления резонанса, необходимо усвоить следующее. При резонансе напряжение и ток на зажимах цепи всегда совпадает по фазе. Настройка же цепи на резонанс зависит от схемы соединений индуктивности и емкости. Для последовательной цепи условие резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений: . Для цепи, содержащей параллельный контур, в одной из ветвей которого находится индуктивность,
а в другой-емкость, условием резонанса является равенство реактивных проводимостей ветвей: .
При расчете цепей синусоидального тока приходится совершать различные математические операции, которые удобно производить над действующими значениями токов и напряжений, рассматривая их как векторы. Величины векторов при этом равны действующим значениям тока и напряжения, а начальная фаза определяет положение вектора относительно положительной горизонтальной оси координат. При положительной (опережающей) начальной фазе вектор повернут на соответствующий угол против движения часовой стрелки, а при отрицательной (отстающей)- по направлению движения часовой стрелки. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные э.д.с., напряжения и токи одной частоты, выходящих из общей точки, называют векторной диаграммой.
|
|
Для цепей синусоидального тока обычно строят потенциальную (топографическую) диаграмму, каждая точка которой соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить это соответствие точек диаграммы и цепи, построения потенциальной диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. Обычно направление обхода выбирают противоположным принятому направлению тока в цепи. Для наглядности в некоторых случаях векторные и потенциальные диаграммы объединяют в одну. Необходимо обратить особое внимание на направление векторов на потенциальных диаграммах. Векторы напряжений направлены относительно точек потенциальной диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек цепи. Ценность потенциальной диаграммы состоит в том, что она позволяет определить напряжения между любыми точками цепи. Для этого следует соединить соответствующие точки потенциальной диаграммы отрезком прямой и придать этому отрезку соответствующее направление.
При помощи потенциальной диаграммы удобно производить сложение напряжений, возникающих на отдельных участках последовательной цепи (второй закон Кирхгофа), и сложение токов, протекающих в ветвях параллельной цепи (первый закон Кирхгофа).
При построении векторных диаграмм один из векторов принимают за основной (опорный), располагая его обычно по положительному направлению горизонтальной оси. В этом случае начальная фаза тока или напряжения в зависимости от того, что данный вектор изображает, равна нулю. Для последовательной цепи за основной вектор принимают вектор тока, а для параллельной – вектор напряжения.
На рис. 3 показано последовательная цепь (рис 3, а) и ее векторная (рис3, б) и потенциальная (рис3, в) диаграммы. На рис. 4 в той же
последовательности, что и на рис.3, показана параллельная цепь и ее векторная и потенциальная диаграмма.
В том случае, когда сложение и вычитание вектора требуется производить не графически, а математически (например, при расчете электрической цепи), вектор раскладывают на две составляющие, одна
Рис. 3
Рис.3
из которых называется активной, а вторая - реактивной. Активной составляющей напряжения является та, которая совпадает по фазе с током, а реактивная - которая опережает ток или отстает от него по фазе на . Активной составляющей тока является та, которая совпадает по фазе с напряжением, а реактивная - которая опережает напряжение или отстает от него по фазе на . Зная сдвиг фаз между током и напряжением и величины векторов тока и напряжения, легко определить соответствующие составляющие этих векторов. Например, если нам задан синусоидально изменяющийся ток уравнением вида , то его активная и реактивная составляющие для действующего значения будут соответственно равны:
; ,
где .
Аналогично для напряжений:
; .
На диаграмме, изображенной на рис. 4, б показаны активные и реактивные составляющие токов.
|
|
Рис. 4
В том случае, когда необходимо произвести сложение двух или более векторов, выражающих собой токи или напряжения, определяют их активные и реактивные составляющие и модуль результирующего вектора:
; ;
где индексы L и C указывают на характер реактивной составляющей (индуктивность или емкость). Начальная фаза результирующего вектора определяется через :
= .
Для практических расчетов удобнее выражать векторы тока и напряжения, а также сопротивления и проводимости комплексными числами, в которых активные составляющие являются действительными величинами, а реактивные - мнимыми. Причем знак мнимой величины зависит от характера реактивной составляющей. При расчете электрических цепей переменного тока с помощью комплексных чисел могут быть использованы методы расчета, применяемые для цепей постоянного тока. Уравнения Кирхгофа в этом случае записываются как составляющие геометрической суммы.
При выполнении расчетов по методу комплексных чисел следует иметь в виду, что вещественная и мнимая части комплексного сопротивления, комплексной проводимости и комплексной мощности всегда представляют собой соответственно активную и реактивную составляющие этих величин; что же касается напряжения и тока, их активная и реактивная составляющие определяются углом сдвига по фазе между этими двумя векторами.
При анализе магнитосвязанных электрических цепей необходимо иметь в виду, что при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа, при учете напряжения от взаимоиндукции сравнивается направление обхода рассматриваемой катушки и направление тока во влияющей на нее катушке относительно одноименных зажимов катушки. Если эти направления совпадают, то напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении со знаком плюс, в противном случае- с минусом.
Задача 1. Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников.
Для схемы, изображенной на рис.4, г (на рис. 4, г ток направлен по часовой стрелке, ток - против часовой стрелки), известно что U=120 B, Ом, Ом, Ом, мГ, мГ, мкФ, =50 Гц.
|
|
Определить токи , , в ветвях цепи, напряжения на участках цепи , , активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму.
Решение. Выражаем сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:
;
Ом.
Переходя от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной, получаем:
Ом,
где ; ;
Ом,
Ом.
Рис. 5
Выражаем заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения совпадающим с положительным и направлением действительной оси. В этом случае мнимая составляющая комплексного числа будет отсутствовать (рис. 5).
В.
Полное комплексное сопротивление цепи
Определяем ток в неразветвленной части цепи:
А.
Токи и в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:
А;
А.
Токи и можно найти и по-другому:
В;
А;
А.
Найдем мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:
.
Для определения активной и реактивной мощностей полную мощность, выраженную комплексным числом в показательной форме, переводим в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплекса будет представлять собой активную мощность, а мнимая – реактивную:
,
откуда
Р=494 Вт; Q=218 вар.
Активную и реактивную мощности можно найти по-другому:
Вт;
Вт; Вт; Вт.
Проверка показывает, что .
вар;
вар; вар;
вар.
Учитывая, что и положительны (реактивная мощность индуктивных катушек), а отрицательно (реактивная мощность конденсатора) получим
вар.
На рис. 6 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по расчетным данным. Порядок ее построения следующий: по результатам расчетов отложены векторы токов , и , затем по направлению отложен вектор и перпендикулярно к нему в сторону опережения - вектор . Их сумма дает вектор . Далее в фазе с построен вектор и перпендикулярно к нему в сторону отставания вектор , а их сумма дает вектор напряжения на параллельном участке . Тот же вектор может быть получен, если в фазе с отложить и к нему прибавить вектор , опережающий на . Сумма векторов и дает вектор приложенного напряжения .
Рис. 6
Трехфазные цепи.
При изучении трехфазных цепей особое внимание необходимо обратить на преимущества, которые дает трехфазная система по сравнению с однофазной. Рассматривая схемы соединения обмоток генераторов, надо уяснить связь между фазными и линейными напряжениями в схеме соединения звездой, а также связь между фазными и линейными токами в схеме соединения треугольником.
Необходимо четко представить, что в трехфазной цепи могут быть два режима: симметричный и несимметричный. Расчет трехфазной цепи в симметричном режиме сводится к расчету для одной фазы и производится аналогично расчету обычной цепи однофазного тока. Трехфазная цепь может рассматриваться как разветвленная цепь с тремя источниками питания и для расчета применяется методы, используемые при расчете сложных электрических цепей. Например, если несимметричный приемник соединен звездой без нейтрального провода, то для расчета трехфазной цепи можно применить метод узлового напряжения в комплексной форме.
После изучения настоящего раздела студенты должны:
1) знать основные элементы трехфазных цепей, способы соединения фаз обмотки генератора и включения в трехфазную цепь приемников; способы изображения трехфазной симметричной системы э.д.с.;
2) понимать роль нейтрального провода; принципы построения потенциальных диаграмм; влияние характера и схемы включения нагрузки на величину тока в нейтральном проводе; схемы электроснабжения предприятий;
3) уметь анализировать различные режимы симметричных и несимметричных цепей; читать схемы соединения трехфазных и однофазных приемников; предвидеть последствие коммутационных изменений в цепи на ее электрическое состояние
Задача 1. В трехфазную сеть с линейным напряжением В включен приемник, соединенный треугольником, сопротивление каждой фазы которого Z = (10+j10) Ом (рис. 7). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии и показания каждого ваттметра. Построить векторную диаграмму. Найти те же величины в случае обрыва цепи в точке d.
Рис. 7
Решение. Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом. Примем, что вектор линейного напряжения направлен по действительной оси, тогда
= = 220 В; = = 220e- j120B; UCA=Uca=220e+ j120
Определяем фазные токи:
А;
А.
Находим линейные токи:
А;
А;
А.
Определим показания ваттметров:
Вт;
Активная мощность цепи (алгебраическая сумма показаний ваттметров)
равна:
Вт,
или
Вт.
Рис. 8
На рис. 8 приводится векторная диаграмма напряжений и токов. При обрыве в точке d токи в фазах нагрузки будут:
А.
Вычислим линейные токи:
; А.
Находим показания ваттметров:
; Вт.
Задача 2. В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением В включен звездой приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны: Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом (рис. 9). Определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.
Решение. Считаем, что вектор фазного напряжения направлен по действительной оси, тогда
В, В, В.
Рис. 9 Рис. 10
Находим линейные токи:
А;
А;
А.
Ток в нейтральном проводе определяется как геометрическая сумма линейных токов:
А.
Векторная диаграмма показана на рис. 10.
При несимметричной нагрузке для определения активной мощности находят мощность каждой фазы отдельно:
,
а мощность всей трехфазной системы получают как сумму мощностей всех фаз или используют схему включения двух ваттметров.
Задача 3. В трехфазную сеть с линейным напряжением В включен звездой в приемник, активное, индуктивное и емкостное сопротивление фаз которого равны: Ом (рис. 11).
Рис. 11 Рис. 12
Решение. Расчет токов производим комплексным методом. Находим фазные напряжения (для симметричной нагрузки):
В;
=220В; В; В. Определяем напряжение между нейтральными точками приемника и источника питания:
В
Определяем напряжения на зажимах фаз приемника:
В;
В; В.
Определяем фазные (линейные) токи:
А;
А;
А.
Векторная диаграмма изображена на рис. 12.
Для подсчета активной мощности в данной схеме можно воспользоваться уравнениями, записанными для схемы включения двух ваттметров. Из рассмотрения этой задачи следует, что напряжение на зажимах фаз приемника получаются неодинаковыми. Поэтому несимметричные приемники (бытовые и др.) соединяют либо четырехпроводной звездой, либо треугольником.