Классическая формулировка

Классическая формулировка имеет характер формулы (1) и предусматривает дальнодействие силы тяготения.

Локальная формулировка.

 

Многие не согласны с таким сильным допущением и настаивают на формулировке, использующей только «локальные» взаимодействия. Такая формулировка предложена в терминах так называемого потенциального поля тяготения. Согласно этой формулировке, каждой точке пространства приписано число таким образом, что на каждый предмет действует сила пропорциональная градиенту (т.е. направлению наибольшего увеличения) поля. Само же потенциальное поле организовано таким образом, что потенциал в центре маленькой сферы равен среднему потенциалу на сфере минус член, пропорциональный массе сферы и обратно пропорциональный её диаметру. Коэффициент пропорциональности равен тому G, что фигурирует в формулировке закона всемирного тяготения (1). Эта формулировка локальна по времени и пространству, и она эквивалентна закону всемирного тяготения.

 

Рациональная формулировка.

 

Понятие поля удобно, поскольку разделяет условия (поле) и движение анализируемой частицы. В частности, оно позволяет сформулировать так называемую функцию Лагранжа – разность между кинетической энергией и потенциальной энергией (для наших целей определения этих энергий не так существенны). Теперь мы можем сформулировать еще один принцип, эквивалентный закону всемирного тяготения, но использующий только движение частицы в потенциальном поле. При движении из одной точки в другую частица движется по пути, минимизирующем функцию Лагранжа!

 

Все три формулировки эквивалентны в механике Ньютона. При этом переформулировки оказались возможными только потому, что в формуле (1) используется квадрат расстояния. Измени степень, и эти формулировки оказываются практически невозможными.

 

Кроме того, разные формулировки используют разные понятия, поэтому удобны для одних обобщений и неудобны для других. Например, обобщение для квантовой механики опирается на локальную формулировку, а обобщение на общую теорию относительности, в которой скорость гравитации не бесконечна, а ограничена, опирается на принцип минимума.

 

Различные формулировки модели Кейнса

 

Более близкий пример – теория государственного вмешательства Дж. М. Кейнса, основанная на его модели. Модельная и словесная формулировки довольно сильно отличаются.

 

Модель Кейнса можно сформулировать так:

 

                                                        X = aX + b +  t,

 

где Х в левой части – созданный в экономике продукт, а справа его выражение через потребление населения, которое предполагается пропорциональным Х (в этом и состоит модель), производ-ственные инвестиции (b) и  правительственные расходы (t). Выражая Х через остальные показатели, получаем

 

                                                      X = b/(1-a)  –  t/(1-a),

 

откуда следуют парадоксальные кейнсианские выводы, противоречащие вековой мудрости человечества:

 

Если хочешь увеличить производство Х, то

- увеличивай склонность к потреблению (a),

- увеличивай инвестиции (b),

- увеличивай государственные расходы (t).

 

Выраженная в словесной форме, скажем, для государственных расходов, эта идея может быть выражена так. Найми безработных, не важно что делать – рыть ямы или прокладывать дороги, например, лишь бы они получали зарплату. Часть а этой зарплаты они потратят на покупки товаров, тем самым оплатив труд реальных производителей, которые долю а от этого, т. е. а², тоже потратят на потребление, породив аналогичным образом покупки а³, а⁴, и т. д., в сумме дающие 1/(1-а). При этом уменьшится безработица, но возрастет инфляция (поскольку ненужный труд безработных оплачивается путем допечатки денег), порождая имманентную для кейнсианства обратную связь: уменьшение безработицы – увеличение инфляции. Никакой инфляции в математической формулировке нет, так как в ней не отражены механизмы изменения параметров.