История некоторых идей в небесной механике

3.1 Измерение расстояний: распространение простого на сложное.

3.2 Теория тяготения и ненаблюдаемые теоретические величины.

             3.3. Эквивалентное выражение различающихся подходов.

3.4. Методы наименьших квадратов и наименьших модулей; нормальное распределение.

Измерение расстояний: распространение простого на сложное.

 

Относительно легко померить линейное расстояние длиной до нескольких метров – линейкой. Значительно труднее – большее расстояник, в сотни метров и километры; здесь мы используем менее точные инструменты – шаги, или угловые расстояния и оптические приборы, использующие тригонометрию. Эта же техника помогает измерять высоту холмов. Но для высоты гор – прибегаем к достаточно сложной теории изменения атмосферного давления с высотой. Измерять расстояние до солнца и между звездами требует привлечения даже более прдвинутых теорий, связываюших скорость света и движение звезд. Урок: даже простые на вид измерения становятся очень сложными при распространении на ситуации, не охватываемые руками. 

Это касается и таких простых, на первый взгляд, величин как численность населения страны или объем добываемой нефти – их никак не получается измерить без погрешности порядка 5% из-за относительно независимой текучести, запаздываний в операциях и разной интерпретации правил.                                                       

Теория тяготения и ненаблюдаемые теоретические величины.

Теория тяготения была разработана И. Ньютоном (1642-1727) – с подачи Р. Гука (1635-1703), лаборанта, а потом секретаря, Королевского общества, – который предложил объяснить законы планетарного движения, сформулированные придворным математиком императора Рудольфа Второго, Иоганном Кеплером (1571-1630), тем, что тела притягиваются к центру Земли с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до него. (Позднее Ньютон, став президентом Королевского Общества, уничтожит все приборы Гука и его изображения.) Закон этот кажется естественным в терминах жидкости, изливаемой из центра во всех направлениях так, чтобы на любом расстоянии поддерживался баланс между втекающей и вытекающей жидкостями, так как тогда ее количество через любую площадь должно быть пропорционально квадрату расстояния от центра.

 

  В чем же состоят законы Кеплера, установленные им на основе изучения данных о координатах планет собранных астрономом Тихо Браге за 25 лет непрерывных наблюдений?

 

Главный факт, известный с незапамятных времен: планеты вращаются вокруг солнца в одной и той же плоскости, называемой плоскостью эклиптики: этот факт пока не нашел убедительного объяснения.

Законы Кеплера.

Первый:

Планеты вращаются по эллипсам, в одном из полюсов которого находится Солнце.

 

Второй:

Каждая планета, в каком бы месте орбиты она ни находилась, за одно и то же время заметает сектор одной и той же площади.

 

Третий:

Квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам больших осей их эллиптических орбит.

 

 

Напомню, что эллипс определяется заданием каких-либо двух точек, называемых его фокусами – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов одна и та же. (Можно взять нитку с фиксированным положением концов и обрисовать ее карандашом.)

 

Закон всемирного тяготения вводит концепцию массы, величины, неизмеримой опытным путем, вместо концепции веса, измеряемого разнообразными весами – почему? Потому, что он утверждает, что любые два тела притягиваются друг к другу пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

 

                                                                                                                      (1)

 

Это значит, что вес предмета (сила притяжения к центру планеты) зависит от места, где его взвешивают! Недаром же говорят, что на Луне все тела весят меньше, чем на Земле.

 

Ньютон доказал, что законы Кеплера эквивалентны закону всемирного тяготения – первые можно вывести из второго и, наоборот, второй из первых.

 

Этот вывод рассматривается как обоснование справедливости закона всемирного тяготения, хотя мы до сих пор не умеем обращаться ни с тяготением, ни массой непосредственно – определенный позитивизм: принятие знания без попытки его привязки к основам мироздания. Господствует в современной науке. Мы без боязни вводим всевозможные скрытые, неизмеримые величины в попытках объяснения поведения. Одно из них – объяснение человеческого поведения как рационального – максимизация функции предпочтения при некоторых внешних и внутренних ограничениях.

 

      3.2. Эквивалентное выражение различающихся подходов.                   

Еще один урок законов планетарного движения – возможность эквивалентной переформулировки одного и того же уравнения таким образом, чтобы удовлетворять различным критериям.