О единственности решения и выполнении уравнения

  состояния.

3.1. Корректность математической постановки задачи, гарантирующая успешную работу вычислительного алгоритма, в качестве неотъемлемых элементов включает существование и единственность искомого решения. Для точного расчета распада произвольного разрыва эта серьезная проблема обсуждалась, и мы не будем на ней останавливаться. (Во избежание недоразумений отметим, что в ситуации, если, например, задача имеет два решения – как в случае сильного и слабого отражения волн – алгоритм должен предусматривать, какое именно решение будет искомым).

    Запрет ударных волн разрежения как дополнительное требование, накладываемое на обобщенное решение системы газодинамических уравнений для обеспечения его единственности, появилось в [7], опубликованной еще раньше, чем [4].Пример, представленный в [5] на стр.115-116, о распаде разрыва с симметричными данными относительно границы раздела, является иллюстрацией такой ситуации.

    Как показано в предыдущем § 2, схема С в качестве вспомогательного инструмента, именуемого приближенным решением задачи Римана, может привлекать разрывы, на которых энтропия убывает. Фактически это могут быть физически нереальные течения.

    Наряду с единственным реальным обобщенным решением (которое дает точный расчет распада разрыва) таких фикций может существовать сколько угодно. Достаточно априорно задать пару массовых скоростей – и пожалуйста. Эта фикция потом «лакируется пересчетом» и может давать внешне прекрасный результат. Не будем обсуждать достоинств формул (2.1) – они, конечно, есть.

    Но как все-таки быть с единственностью? Как быть, если используя другие формулы для массовых скоростей, получится другой результат для некоторой важной характеристики рассчитываемой конструкции (например, о роли ее конкретной детали)? Апеллировать к точному расчету распада разрыва? Не лучше ли действовать так сразу (причем разумно распоряжаясь закладываемыми в него возможностями экономить время конкретного расчета – позже вернемся к обсуждению этого вопроса)?

3.2. У схемы С есть еще одно уязвимое место. В [2] отмечается как ее достоинство тот факт, что величины , по которым вычисляется вектор потока на границе ячеек, получаются без привлечения уравнения состояния.

    Более того, в [3] на стр.155 читаем: «Отсутствие необходимости использования уравнения состояния для определения вектора потока на границе ячеек… облегчает приложение предложенной схемы к сложному уравнению состояния газа с переменными свойствами. Поэтому первоначально данный метод успешно применялся для расчета струйных течений реагирующих газов на основе решения уравнений Навье-Стокса».

    А вот это уже серьезное и обязывающее заявление. Поскольку из трех величин R,P,E независимыми являются только две, то ситуация далеко не столь проста. Параметры в зонах с номерами 3 и 4 должны удовлетворять уравнению состояния (1.1):

(3.1)       ,    .

Если подставить в эти формулы выражения, представленные в (1.3)-(1.4), то получаются два соотношения, которые следует рассматривать как уравнения для величин массовых скоростей а₁,а₂. Именно они и определяются в ходе итерационного процесса для расчета точного распада разрыва (естественно, если этот процесс сходится).

    Высказывание в [2] о том, что точное вычисление массовых скоростей не требуется в силу выполнения соотношений на разрыве, можно оправдать только тем обстоятельством, что ставится цель получения лишь приближенного решения. Никаких оснований ожидать выполнения (3.1) при априорном («волевом») назначении массовых скоростей, вообще говоря, нет.

3.3. Каковы могут быть последствия невыполнения условий (3.1)? Фактически это означает, что при последующей реализации формул «пересчета» будет происходить «смешивание» нескольких газов, удовлетворяющих не уравнению состояния (1.1), а, условно говоря, различным. А результирующему газу снова «навязывается» уравнение состояния (1.1). Вопрос о том, насколько корректна такая процедура (при ее систематическом употреблении), остается открытым. Вычислительный опыт в таких ситуациях обычно допускает конструирование неблагоприятных примеров.

    Возможно, иллюстрацией к обсуждаемому вопросу могут служить результаты расчета теста 2 в упомянутых работах [2]-[3]. В нем рассматривался симметричный разлет двух газов с параметрами , , ,  . При этом образуются сильные волны разрежения.

График внутренней энергии, полученный для разностного счета, настолько сильно отличается от аналитического решения, что ставит под сомнение уравнение состояния. Гипотеза состоит в том, что выполненный расчет в зоне сильного разрежения фактически реализует, условно говоря, некоторый «эффективный» показатель адиабаты, отличный от заданного значения g, несмотря на то, что в расчетных формулах только оно и присутствует. Мы еще раз вернемся к этим результатам позже (в § 7).

    Заметим, что при реализации схемы С.К.Годунова с точным расчетом распада разрыва, описанным в монографии [5] на стр.110-115, подобная ситуация не допускается. Во-первых, величина Е досчитывается по Р и R именно с привлечением уравнения состояния. Во-вторых, в случае доведения итерационного процесса до сходимости, будут удовлетворены точные соотношения на ударных волнах или волнах разрежения, т.е. реализованы единственные правильные значения их массовых скоростей. В таком случае результаты вычисления внутренних энергий по формулам (3.1) и (1.4) просто совпадают.

3.4. Автор считает уместным в связи с обсуждаемым вопросом напомнить о давней работе [8], которая представляет текст доклада С.К.Годунова на IV Всесоюзном математическом съезде в 1961 году. В ней, в частности, на стр.157 приведен пример, показывающий, что последовательность решений уравнений газовой динамики в форме законов сохранения, удовлетворяющих уравнению состояния, может иметь предел, уравнению состояния не удовлетворяющий. В те времена становления прикладной математики проблема существования представлялась чрезвычайно важной и была предметом серьезных дискуссий. Приведем цитату с той же стр.157: «…Имеющийся в нашем распоряжении опыт работы с кусочно-гладкими аналитическими решениями относится только к случаю с конечным числом областей гладкости. Однако даже если в начальных данных содержится всего 3-4 разрыва, может случиться, что в дальнейшем число этих разрывов будет увеличиваться с течением времени по геометрической прогрессии и станет бесконечным уже при конечных t. Произойдет как бы сгущение особенностей. Никакого опыта в изучении таких сгущений у нас нет. Продолжимо ли решение за это сгущение?…»

    Не удивительно поэтому, что разностный алгоритм может выдавать «острую реакцию», отражающую реально складывающуюся в рассчитываемом течении. Так ли уж правильно заранее заботиться о сглаживании всех возникающих эффектов, исходя из соображений «монотонизации» искомого решения?

    Конечно, сейчас вычислительного опыта накопилось существенно больше. Однако окончательного ответа на такого рода вопросы, по-видимому, так и не появилось.