Математические основы больших эконометрических моделей

 Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений [1].

Отметим, что наличие множества прикладных моделей для решения одного и того же класса задач не случайно. Наиболее ярко это проявляется при построении макроэкономических моделей, когда, например, одна и та же функция потребления может включать в себя разный набор экономических пере­менных.

Рассмотрим основные направления практического использо­вания эконометрических систем уравнений (больших эконометрических моделей).

Наиболее широко системы одновременных уравнений применяются для построения макроэкономических моделей функционирования экономики той или иной страны. Большин­ство из них представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа с той или иной степенью сложности. Стати­ческая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в наиболее простом варианте имеет следующий вид:

C = a + by + e,

Y = C + I,

где С — личное потребление в постоянных ценах;

у - национальный доход в постоянных ценах;

е - случайная составляющая;

I - инвестиции в постоянных ценах.

В силу наличия тождества в модели (второе уравнение систе­мы) структурный коэффициент b не может быть больше 1. Он ха­рактеризует предельную склонность к потреблению. Так, если b = 0,65, то из каждой дополнительной 1 тыс. руб. дохода на по­требление расходуется в среднем 650 руб. и 350руб. инвестирует­ся т. е. С и у выражены в тысячах рублей. Если b > 1, то у < C + 1, т. е. на потребление расходуются не только доходы, но и сбереже­ния. Параметр а Кейнс истолковывал как прирост потребления за счет других факторов. Поскольку прирост во времени может быть не только положительным, но и отрицательным (сниже­ние), такой вывод возможен. Однако суждение о том, что пара­метр а характеризует конкретный уровень потребления, обуслов­ленный влиянием других факторов, неправильно.[6]

Структурный коэффициент b используется для расчета муль­типликаторов. По данной функции потребления можно опреде­лить два мультипликатора - инвестиционный мультипликатор потребления М_с и инвестиционный мультипликатор националь­ного дохода М_у.

Инвестиционный мультипликатор потребления рассчитыва­ется по формуле

M_c = b/ (1-b)

Инвестиционный мультипликатор национального дохода можно определить как

М_у = 1 / (1 — b),

Рассматриваемая модель Кейнса точно идентифицируема, и для получения величины структурного коэффициента b приме­няется КМНК, т.е. строится система приведенных уравнений.

Таким образом, приведенная форма модели содержит мульти­пликаторы, интерпретируемые как коэффициенты линейной ре­грессии, отвечающие на вопрос, на сколько единиц изменится значение эндогенной переменной, если экзогенная переменная изменится на одну единицу своего измерения. Этот смысл коэф­фициентов приведенной формы делает приведенную модель удобной для прогнозирования.

В более поздних исследованиях статическая модель Кейнса включала уже не только функцию Потребления, но и функцию сбережений:

C = a + by + e₁,

r = T + K(C + I) + e₂,

y = C +I + r,

где С, y и I – те же по смыслу переменные, что и в предыдущей модели;

r - сбережения.

Данная модель содержит три эндогенные переменные — С, г, у и одну экзогенную переменную I.Система идентифицируема: в первом уравнении Н = 2 и D =1, во втором H=1 и D = 0;С + I рассматривается как предопределенная переменная.

Наряду со статическими широкое распространение получили динамические модели экономики. В отличие от статических они содержат в правой части лаговые пе­ременные, а также учитывают тенденцию (фактор времени). Например, модели Клейна, разработанные им для экономики США в 1950-1960 гг. В упрощенном варианте модель Клейна рас­сматривается как конъюнктурная модель.

C_t = b₁S_t + b₂P_t + b₃ + e₁,

I_t = b₄P_t + b₅P_t-1 + b₆ +e₂,

S_t = b₇R_t + b₈R_t-1 + b₉t + b₁₀ + e₃,

R_t = S_t + P_t + T_t,

R_t = C_t + I_t + G_t,

где C_t - функция потребления в период t;

S_t - заработная плата в период t;

P_t - прибыль в период t;

P_t-1 - прибыль в период t - 1, т. е. в предыдущий год;

R_t - общий доход в период t;

R_t-1 - общий доход в предыдущий период;

t -  время;

T_t - чистые трансферты в пользу администрации в период t;

I_t - капиталовложения в период t,

G_t - спрос административного аппарата, правительственные расхо­ды в период времени t.

Модель содержит пять эндогенных переменных - C_t,I_t,S_t,R_t (расположены в левой части системы) и P_t (последняя — зависи­мая переменная, определяемая по первому тождеству), три экзо­генные переменные - T_t, G_t t и две предопределенных, лаговых пе­ременных - P_t-1  и R_t-1.Как и большинство моделей такого типа, данная модель сверхидентифицируема и решаема ДМНК. Для прогнозных целей используется приведенная форма модели

C_t = d₁T + d₂G + d₃t + d₄P_t-1 + d₅R_t-1 +u₁,

I_t = d₆T + d₇G + d₈t + d₉P_t-1 + d₁₀R_t-1 +u₂,

S_t = d₁₁T + d₁₂G + d₁₃t + d₁₄P_t-1 + d₁₅R_t-1 +u₃,

R_t = d₁₆T + d₁₇G + d₁₈t + d₁₉P_t-1 + d₂₀R_t-1 +u₄,

P_t = d₂₁T + d₂₂G + d₂₃t + d₂₄P_t-1 + d₂₅R_t-1 +u₅.

В этой системе мультипликаторами являются коэффициенты при обычных экзогенных переменных. Они отражают влияние экзогенной переменной на эндогенную переменную. Мульти­пликаторами в нашей системе выступают коэффициенты при  Т и С. Коэффициенты d_1, d_6, d_11, d_16, d₂₁- мультипликаторы чистых трансфертов в пользу администрации относительно личного по­требления d₁, инвестиций d₆, заработной платы d₁₁, дохода d₁₆ и прибыли d_21. Соответственно коэффициенты d_2, d_7, d_12, d_17, d₂₂ являются мультипликаторами правительственных расходов относительно соответствующих эндогенных переменных.[6]

Динамическая модель может и не содержать учет тенденции, но лаговые переменные в ней обязательны. Динамическая мо­дель Кейнса представлена следующими тремя уравнениями:

C_t = a + b₁Y₁ + b₂Y_t-1 +e₁,

Y_t = C_t + G_t + I_t + L_t,

P_t = Y_t + Z_t.

Y_t, -- имеющийся в распоряжении доход в период времени t;

C_t, -- частное потребление в период времени t;

P_t -- валовой национальный продукт (ВНП) в период времени t.

Кроме того, модель содержит пять предопределенных переменных:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Y_t-1 - доход предыдущего года;

C_t, -- частное потребление;

I_t - валовые капиталовложения;

L_t - изменение складских запасов;

Z_t - сальдо платежного баланса.

Случайная переменная e₁ характеризует ошибки в первом уравнении ввиду его статистического характера. Параметр а отра­жает влияние других не учитываемых в данном уравнении факто­ров потребления (например, цен). Первое уравнение данной системы является сверхидентифицируемым, а второе и третье — определениями.

Если в модели Кейнса доход рассматривается как лаговая пе­ременная, то в других исследованиях функции потребления в ви­де лаговой переменной используется потребление предыдущего года, т. е. считается, что потребление текущего года зависит не только от дохода, но и от достигнутого в предыдущий период уровня потребления.

Примером динамической модели экономики, учитывающей для каждой эндогенной переменной лаговые переменные соот­ветствующего экономического содержания, может служить мо­дель открытой экономики с экономической активностью со стороны государства.

C_t = a₀ + a₁Y_t + a₂C_t-1 +e₁,

I_t = b₀ + b₁Y_t + b₂U_t-1 + e₂,

IM_t = k₀ + k₁Y_t + k₂IM_t-1 + e₃,

Y_t = C_t + I_t + G_t – IM_t.

В этой модели четыре эндогенные переменные:

C_t — личное потребление в период времени t;

I_t — частные чистые инвестиции в отрасли экономики в пери­од времени t;

IM_t —импорт в период времени t;

Y_t — национальный доход за период времени t.

Все переменные приведены в постоянных ценах.

Предопределенными переменными в модели являются следу­ющие три переменные:

C_t-1 — личное потребление за предыдущий период;

U_t-1 — доход личных домохозяйств от предпринимательской деятельности за предыдущий период и доход от имущества плюс нераспределенная прибыль предприятий до налогообложения;

 IM_t-1 — импорт за предыдущий период времени t-1.

В качестве экзогенной переменной в модели рассматривается переменная G_t — общественное потребление плюс государствен­ные чистые капиталовложения в экономику страны плюс измене­ние запасов минус косвенные налоги плюс, дотации плюс экспорт.

Первые три уравнения системы являются сверхидентифицируемыми, а четвертое представляет собой балансовое тождество.

Система одновременных уравнений нашла применение в ис­следованиях спроса и предложения. Линейная модель спроса и предложения имеет вид:

Q^d = a₀ + a₁P + e₁,

Q^s = b₀ + b₁P +e₂,

Q^d = Q^s,

где Q^d — спрашиваемое количество благ (объем спроса);

Р - цена;

 Q^s - предлагаемое количество благ (объем предложения).

В этой системе три эндогенные переменные Q^d, Q^s и P. При этом если Q^d и Q^s представляют собой эндогенные переменные исходя из структуры самой системы (они расположены в левой части), то Р является эндогенной по экономическому содержа­нию (цена зависит от предлагаемого и испрашиваемого количе­ства благ), а также в результате наличия тождества Q^d = Q^s.

Рассматриваемая модель спроса и предложения не содержит экзогенной переменной. Однако для того, чтобы модель имела статистическое решение и можно было убедиться в ее справедливости, в модель вводятся экзогенные переменные.

Одним из вариантов модели спроса и предложения является модель вида

Q^d = a₀ + a₁P + a₂R + e₁,

Q^s = b₀ + b₁P + b2W + e2,

Q^d = Q^s,

где R - доход на душу населения;

W — климатические условия (предположим, что речь идет о спросе и предложении зерна).

Переменные R и W экзогенные. Введя их в модель, получим идентифицируемую структурную модель, оценки параметров ко­торой могут быть даны с помощью КМНК.

Широкий класс моделей в эконометрике представляют про­изводственные функции:

Р = f (x₁,x₂,..,x_n), где       

Р — объем выпуска (уровень производства);

x₁,x₂,..,x_n - факторы производства (труд, капитал и др.).

Однако реализация такого рода моделей, как правило, не свя­зана с системой одновременных уравнений. Производственная функция в упрощенном виде может быть включена в систему од­новременных уравнений. Так, в 1962 г. Б. Хохенбалкен и Г. Тинтнер предложили следующую модель экономики для каждой из одиннадцати стран — членов Организации экономического сод­ружества:

logX = a₂ + b₂ logD,

dx/dD = W/p,

Y =C + K,

X = Y/P.

Здесь эндогенными переменными являются:

С - величина личного потребления в текущих ценах;

Y- ВНП в текущих ценах;

X- ВНП в постоянных ценах;

Р - индекс цен;

D — общая занятость.

В качестве экзогенных переменных приняты:

N— численность населения;

W- средняя годовая заработная плата работника;

K — государственное потребление плюс инвестиции и внеш­неторговое сальдо.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

В системе имеются только два структурных уравнения -функция потребления (первое уравнение) и производственная функция (второе уравнение). Остальные составляющие модели представляют собой априорно разработанную функцию спроса на труд (третье уравнение) и два тождества, относящиеся к ВНП.

Параметры функции потребления оцениваются с помощью КМНК с учетом тождества Y = С + К, а параметры производст­венной функции — при комбинации ее с функцией спроса на труд.

Как уже отмечалось, не все эконометрические модели имеют вид системы одновременных уравнений. Так, широкий класс функций спроса на ряд потребительских товаров часто представ­ляет собой рекурсивную систему, в которой с уравнениями мож­но работать последовательно и проблемы одновременного оце­нивания не возникают. В этом плане система одновременных уравнений — лишь один из возможных вариантов построения экономических моделей.[6]