2020-01-14
85
По-прежнему рассматриваем систему (1):
.
Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций 
и 
, то есть
P 
,
где
Для вычисления верхнего центрального показателя 
нам понадобится функция
.
Докажем, что функция 
является верхней для семейства P.
Доказательство:
По определению 1.7 
─ верхняя функция для семейства P, если
.
Докажем, что 
.
.
Следовательно,
.
Докажем, что 
.
Следовательно,
,
то есть для любого 
Тогда по определению верхней функции
(P).
Вычислим 
.
По определению 1.6 верхнего среднего значения функции
Для всякого 
найдется такое 
, что
.
Тогда
.
Вычислим отдельно 
.
Итак,
.
Оценим сверху 
.
. (*)
Учитывая (*) и оценивая 
сверху, получаем
. 
Тогда (при 
)
,
то есть 
.
Оценивая 
снизу, получаем
,
где 
.
Тогда
,
то есть 
.
Следовательно, 
.
Теперь изобразим функции 
, и 
на графике.
График функции 
:
График функции 
:
Очевидно, что на отрезках 
,
а на отрезках 
для любого 
.
Теперь покажем, что верхний центральный показатель 
совпадает с 
, то есть
.
Докажем следующим образом:
1.Введем функцию 
.
Разобьем ось 
на промежутки 
точками 
Используя определение 1.12, положим
если 
Оценим 
.
Возможны три случая:
1) если 
, то 
; значит,
.
2) если 
, то 
; значит,
.
2) если 
, то 
; значит,
.
Таким образом, 
.
2.Докажем, что 
.
Очевидно, что 
─ функция ограниченная и
.
Отсюда следует, что
,
то есть
,
Так как
,
то
.
3.Докажем, что 
для любого 
.
По определению 1.6 вычислим 
, используя утверждение 1.2:
.
По определению 1.6 вычислим 
, используя утверждение 1.2:
.
Теперь рассмотрим все возможные случаи расположений отрезков 
по отношению к отрезкам 
и 
.
I. Если 
, где 
, то
,
следовательно,
;
II. если 
, где 
, то
,
следовательно,
;
III. если 
,
то
;
IV. если 
,
то
;
1) Для каждого 
найдется такое 
, что выполняется
.
Тогда
;
2) Для каждого найдется такое 
, что выполняется
.
Тогда
.
Из вышеперечисленных случаев 1) и 2) следует, что
, (**)
для любого 
такого, что
, 
.
Учитывая неравенство (**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства 
:
.
Теперь оценим выражение 
.
Очевидно, выполняется следующее неравенство:
.
Перейдем к пределам:
,
.
Следовательно,
.
Значит,
,
то есть для любого 
.
По определению 1.11
.
Таким образом,
для любого .
По замечанию 1.4 получаем, что
.
Следовательно,
.
Так как мы доказали, что 
(P), то есть 
- верхняя функция для семейства P, то, опираясь на определение 1.9, получаем, что
,
то есть
.
А значит,
.
Итак, в этом разделе был рассмотрен случай
.
