Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы

 

Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

 

Исследуем случай, когда матрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее  и .

 

Рассмотрим диагональную систему

 

 ,

 

где ─ вектор-функция размерности . Она имеет матрицу Коши

 

,

 

то есть

 

,

 

с нормой

 

, где .

 

По определению 1.2 найдем для каждой функции  ее характеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:

.

 

Получаем, что

 

.

 

Из утверждения 1.3 и определения 1.5 вытекает, что

 

,

 

так как матрица конечномерная.

 

По определению 1.9

 

_{P ,}

где (P).

 

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами. Случай .

Исследуем случай, когда матрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее  и .

Рассмотрим диагональную систему

 

,

 

где ─ вектор-функция размерности , ─ некоторые числа, .

Она имеет матрицу Коши

 

,

 

то есть

 

,

 

с нормой

 

.

 

Рассмотрим следующую лемму.

Лемма*.

Пусть ─ некоторое число. Тогда

 

.

 

Доказательство.

По определению 1.6

 

.

 

Имеем, . Что и требовалось доказать.

На основании предыдущего пункта заметим, что

 

.

 

Тогда .

Теперь покажем, что .

Пусть .

Так как для любого

 

,

 

то по определению 1.7

 

(P).

 

Тогда по определению 1.9 и лемме*

 

_.

 

Так как выполняется всегда, то

 

.

 

Следовательно, для диагональной системы с постоянными коэффициентами всегда

 

.

 

4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАРШЕГО И ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ .