Схема Бернулли. Обобщение

Определение 1. Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - "успех" и "неудача", при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью а неудача - с вероятностью .

Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям. В испытаниях схемы Бернулли, когда с одним испытанием можно связать только два взаимоисключающих события, независимость в совокупности испытаний означает, что при любом независимы в совокупности события успех в первом испытании успех в -м испытании . Эти события принадлежат одному и тому же пространству элементарных исходов, полученному декартовым произведением бесконечного числа двухэлементных множеств :

Здесь буквами "у" и "н" обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Обозначим через число успехов, случившихся в испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля до в зависимости от результата испытаний. Например, если все испытаний завершились неудачей, то величина равна нулю.

Теорема 1 (формула Бернулли). При любом имеет место равенство:

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

когда первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна .