Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.
Пример 1. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.
Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся.
Попробуем вывести подходящую формулу. Пусть в одном испытании возможны исходов: , и -й исход в одном испытании случается с вероятностью , где .
Обозначим через вероятность того, что в независимых испытаниях первый исход случится раз, второй исход - раз, и т.д., наконец, -й исход - раз.
Теорема 4 (Обобщенная формула Бернулли). Для любого и любых неотрицательных целых чисел сумма которых равна верна формула
Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению единиц, двоек и т.д.:
Это результат экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей . Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел на местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на местах единиц, двоек, и т.д. Это число равно
|
|
Теперь мы можем вернуться к примеру 1 и выписать ответ: вероятность получить десять троек, три единицы и еще два других очка равна
так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по , а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) равна