Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. Введем величину со значениями равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 2. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером равна

Доказательство. Вероятность первым испытаниям завершиться неудачей, а последнему - успехом, равна

Определение 3. Набор чисел называется геометрическим распределением вероятностей.

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством "нестарения".

Теорема 3. Пусть для любого . Тогда для любых неотрицательных целых и имеет место равенство:

Если, например, считать величину временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство. Общепринятое название этого свойства - свойство отсутствия последействия.

Доказательство. По определению условной вероятности,

(1)

Последнее равенство следует из того, что событие влечет событие поэтому пересечение этих событий есть . Найдем для целого вероятность :

Можно получить еще проще: событие означает в точности, что в схеме Бернулли первые испытаний завершились неудачами, т.е. его вероятность равна . Возвращаясь к (1), получим