2020-01-14
407
Площадь прямоугольника со сторонами 
и 
вычисляется по формуле (рис. 1.8)
Площадь параллелограмма вычисляется по формулам
,
,
где а – его основание, b – боковая сторона, α – угол между ними, h – высота (рис. 19)
Рис. 1.8 Рис. 1.9
Площадь многоугольника вычисляется по формулам
,
где а – одна из сторон треугольника, h – проведённая к ней высота (рис. 1.10, а);
,
где a, b – стороны треугольника, γ – угол между ними (рис 1.10, а);
(формула Герона),
где а, b, с – стороны треугольника, а 
- полупериметр (рис. 1.10, б);
,
где р – полупериметр, r – радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.10, в);
,
где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.10, г);
,
где 
– сторона треугольника, α – противолежащий ей угол, β, γ – два других угла (рис. 1.10, д);
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле
,
где – сторона правильного треугольника (рис. 1.10, е).
а) б)
в) с)
д) е)
Рис. 1.10
Площадь трапеции вычисляется по формулам
,
где а и b – основания трапеции, h – высота (рис. 1.11, а);
,
где MN – средняя линия трапеции, h – её высота (рис. 1.11, б);
,
где d 1, d 2 – диагонали трапеции, α – угол между ними (рис. 1.11);
,
где с – боковая сторона трапеции, 
– перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.11, г).
а) б)
в) г)
Рис. 1.11
Если даны диагонали e и f и угол α между ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле
.
В частности, площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей (рис. 1.12):
.
Рис. 1.12
Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму 
пары противоположных углов:
,
где р – полупериметр четырёхугольника.
Рис. 1.13
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника (
) (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты
,
а описанного (рис. 1.14, б) (
) – по формуле
Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:
.
а) б)
Рис. 1.14
Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле
,
где R – радиус круга, вписанного в многоугольник, а Р – периметр прямоугольника.
Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n -угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задать n -угольник (его форму и размеры), нужно указать 2 n – 3 его элемента: например, длины всех сторон. Кроме одной, и величины n – 2 образованных ими углов.
