Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение

В вопросе о площади многоугольник понимается как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. В этом смысле понятие «многоугольник» используется в дальнейшем в изложении школьного курса математики, а площадь многоугольника определяется с помощью указания её свойств:

1) численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;

2) площади равных многоугольников, т. е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

3) площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);

4) площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице.

В различных учебниках по геометрии для общеобразовательных учреждений определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше.

Таким образом, площадь многоугольников можно трактовать как функцию , заданную на множестве  всех многоугольников, принимающую числовые значения и обладающую следующими свойствами (аксиомами площади):

1) неотрицательность площади;

2) аддитивность площади;

3) инвариантность площади;

4) нормированность площади.

Это определение по своему характеру сродни, например, определению арифметического корня  (): b – есть неотрицательное число, n -я степень которого равна а.

Ведь и в этом случае арифметический корень определяется указанием его свойств. Для корректного определения арифметического корня надо доказать, что такое число b, во-первых, существует и, во-вторых, единственно. Первое следует из того, что множество значений функции

 и ) есть .

Второе следует из строго монотонного возрастания рассматриваемой функции.

Для корректного определения площади многоугольников – функции  - требуется доказать, что такая функция существует и единственна.

Определения указанного типа носят название дескриптивных (буквально, описательных, от английского слова descriptive – описательный).

Дескриптивные определения отличаются от определений конструктивных (буквально, построительных, от лат. слова  construction – построение).

Примером конструктивного определения является, например, определение степени с натуральным показателем: (если произведение чисел ранее определено).

Поборник ознакомления школьников с понятием дескриптивного определения, видный отечественный математик и педагог Я. С. Дубнов, отмечал, что из уравнения, мы имеем дело с дескриптивным определением этого числа, и что концепция дескриптивного определения, как содержащего формулировку некоей задачи, вполне доступна пониманию школьника, стоит только фиксировать его внимание на дескриптивном характере уже знакомых определений. Если этого не делают, то, вероятно, потому, что недооценивают образовательное значение идеи дескриптивного определения, которое одновременно служит инструментом исследования и преддверием к пониманию аксиоматического метода.

Это высказывание более чем сорокалетней давности актуально и сегодня. В школьных учебниках, где фактически программа реализации дескриптивного определения площади многоугольника выполнена полностью (доказаны существование и единственность функции  ) не только ничего не говорится о специфике дескриптивного определения, но и сам термин «дескриптивное определение» не используется. Здесь проявляется многовековая традиция, состоящая в следующем: практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надёжным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Многим же сам вопрос (об определении площади) покажется искусственным: они скажут, что площадь – первичное понятие, не подлежащее определению.

Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился ещё в древности. До недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что «площадь» нуждается в специальном определении.

Между тем их вычисления должны были на чём-то основываться – если не на прямом определении, то на чём-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определённое число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это – основные свойства площади. Так, в одних школьных учебниках площадь многоугольников вообще не определяется, но указываются её свойства, соответствующие аксиомам площади. В других же определения носят формально дескриптивный характер, но свойства, определяющие площадь, используются не для построения общей функции , а для вычисления площади основных плоских фигур: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и плоских фигур, составленных из этих основных. Отметим также, что на основе аксиом площади вполне строго выведены формулы площади указанных основных плоских фигур. Поскольку, однако, существование единственной функции  не установлено, то доказанное лишь означает, что если функция  существует, то её значения для основных плоских фигур однозначно определяются обычными общеизвестными формулами.