2020-01-14
379
Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.
Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:
,
где 
, a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.
Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD АВ = а, ВС = b,
CD = c, DA = d; Ð ABC = β, Ð ADC = δ (рис. 1.23)
Рис. 1.23
Из 
в силу теоремы косинусов
Из 
: 
.
Приравнивая правые части этих выражений, получим:
,
или 
. (1.5)
Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:
,
откуда
(1.6)
В равенствах (1.5) и (1.6) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:
Выполним равносильные преобразования, получим
,
что и требовалось доказать.
Теорема имеет ряд следствий.
Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:
.
Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800, т. е.
,
.
Поэтому 
.
Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:
.
Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.
,
то
, 
, 
, 
.
Имеем:
Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:
.
Доказательство. Так как 
и в силу следствия 1
,
то 
