Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

Теорема. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.Доказательство. Пусть АВС (рис. 1.39) – прямоугольный треугольник, а BDEA, AFGE и BCKH – квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе; требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.

Рис. 1.39

Проведём  ^ ВС. Тогда квадрат BCKH разделится на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA, а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC.

Проведём вспомогательные прямые DC и АН. Рассмотрим треугольники DCB и ABH. Треугольник DCB, имеющий основание BD, общее с квадратом BDEA, а высоту СN, равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата. Треугольник АВН, имеющий основание ВН, общее с прямоугольником BLMH, и высоту АР, равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик его половине. Сравнивая эти два треугольника между собой, находим, что у них BD = ВА и ВС = ВН (как стороны квадрата);

Сверх того, Ð DCB = Ð АВН, т. к. каждый из этих углов состоит из общей части - Ð АВС и прямого угла. Значит, треугольники АВН и ВСD равны. Отсюда следует, что прямоугольник BLMN равновелик квадрату BDEA. Точно также доказывается, что прямоугольник LGKM равновелик квадрату AFGC. Отсюда следует, что квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC.