Мы рассмотрим частный вид многоугольников на клетчатой бумаге, которому в формуле Пика соответствуют значения . Но от этого частного случая можно перейти сразу к самому общему, воспользовавшись теоремой о разрезании на треугольники произвольного многоугольника (клетчатая бумага больше не нужна).
Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К).
Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).
Рис. 1.37
Теорема 2. а) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n -угольника).
|
|
б) Пусть на границе многоугольника отмечено r точек (включая все вершины), внутри – ещё i точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно .
Разумеется, а) – частный случай б), когда .
Справедливость этой теоремы следует из следующих утверждений.
1) Из вершины наибольшего угла n -угольника () всегда можно провести диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.
2) Если n -угольник разрезан диагональю на р -угольник и q -угольник, то .
3) Сумма углов n -угольника равна .
4) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольника.
5) Для любого треугольника, внутри и на границе которого отмечены несколько точек (в том числе и все три его вершины), существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках.
6) То же самое верно и для любого n -угольника.
7) Число треугольников триангуляции равно , где i и r – количество отмечены несколько точек соответственно внутри и на границе многоугольника. Назовём разбиение n -угольника на несколько многоугольников правильным, если каждая вершина одного из многоугольников разбиения служит вершиной всех других многоугольников разбиения, которым она принадлежит. 8) Если из вершин k -угольников, на которые разбит правильным образом n -угольник, i вершин лежат внутри и r – на границе n -угольника, то количество k -угольников равно
.
9) Если точек плоскости и отрезков с концами в этих точках образуют многоугольник, правильно разбитый на многоугольников, то (рис. 1.38)
.
Рис. 1.38
Из теорем 1 и 2 и вытекает формула Пика:
|
|
.