Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

Теорема 2.3.1. Если , то  – поле тогда и только тогда, когда Q ⁺(-a²) – поле.

Доказательство. По теореме 2.1.1 Q ⁺(ai) – поле равносильно существованию

f ¹0, f (ai)=0.

Так как все степени aiÎ Q ⁺(ai). Рассмотрим некоторый многочлен

.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.

То есть,

Это верно тогда и только тогда, когда Q ⁺(- a²) – поле.

Получили, что Q ⁺(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q ⁺(-a ²) – поле. ■

Как следствие получаем более ценные утверждения.

Следствие 1. Если , то Q ⁺(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q ⁺(-a²) – полуполе.

Следствие 2. Если  и Q ⁺(-b²) – полуполе, aÎ Q ⁺(-b²), то Q ⁺(a + bi) – полуполе.

Теорема 2.3.2. Пусть  – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда  – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.

Доказательство. Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D – дискриминант минимального соотношения.

Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то

                                               (*)

То есть, .

Рассмотрим .

При  получаем многочлен из Q ⁺[ x ]. Пусть . Введем обозначения:

, , ,

, , .

Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на .

Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q ⁺. Докажем, что найдется такие k, что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения .

То есть, дискриминант D_l+1 имеет тот же знак, что и D_l. Так как D₀ <0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант D_l <0.

Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим

.

То есть,

.

Зная, что  заметим

.

 

Итак, для доказательства нам достаточно установить, что

.

То есть,

.

Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство

.

Тогда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что

.

Используя оценку  и деля на положительный элемент , получаем

.

Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если  удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то  – поле.                                                                                              ■

Следствие 1. Если  – мнимый корень квадратного трехчлена, то ‑ поле.

Следствие 2. Любое простое расширение  является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени.

Доказательство.

Заметим, что . Покажем, что для любого a Î Q найдется такой квадратный многочлен , что  - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть,  - поле. ■

 

Рассмотрим последовательность действительных чисел :

                              (**)

Будем говорить, что последовательность  задается числами p и q.

Лемма 2.3.3. Существует n, что .

Доказательство. Пусть . Покажем, что последовательность  убывающая.

,

то есть .

Пусть , тогда

Так как ,  то

Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть  - убывающая.

Так как  - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда .

То есть, . Но тогда

,

,

что невозможно для . То есть, .   ■

Лемма 2.3.4. Если , то существует , что .

Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:

,  Так как , то существует k, что  и .

Тогда . Рассмотрим число .

То есть, .                                                                                         ■

Теорема 2.3.5. Если  и , то

.

Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть .

Если n=1, то . Рассмотрим .

То есть,

.

Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда

.

Рассмотрим n > 1.

Пусть .

Покажем, что

Раскроем скобки и сгруппируем члены при x^j.

То есть,

Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий  и , то есть, . Обозначим . Так как , то  и . Для существования  достаточно доказать существование  и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4,  существует, если  и . Эти условия следуют из того, что  и .

Таким образом, доказано существование

                                                                                                                     ■

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что  и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида  существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен .  так как  и . Кроме того , а остальные множители многочлена  имеют вид  или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле.                                                                                 ■

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел  расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что  – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f (a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть  – полуполе.                                                                                                     ■

Примеры

1. Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7,  - полуполе. Аналогично доказывается, что  – полуполе.

2.  – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.

3. Покажем, что  – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7, ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1,  – полуполе. . То есть,  – полуполе.

4. , минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен  имеет положительный корень, а значит  - полуполе.

 

Теперь приведем примеры полей.

5.  является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .

6.  Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен  делит . То есть,  – поле. Несложно видеть, что . Итак, .

7. Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда  – поле.

8. Пусть  , если , то  – поле. Так как , то  Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. . По теореме 2.3.7,  – поле.

Литература

1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000

2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.

3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.